安徽省名校联考2022届高三下学期理数教育教学质量监控试卷

试卷更新日期：2022-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {(x, y) | x + y = 6}, B = {(x, y) | y = x^{2}},$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${(2, 4)}$ B、 ${(- 3, 9)}$ C、 ${(2, 4), (- 3, 9)}$ D、 $\emptyset$

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2. 复数 $z = \frac{2}{i + 1}$ （i为虚数单位）的虚部是（）

A、-1 B、1 C、-i D、i

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3. 为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植.为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是（）

A、甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐 B、乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐 C、甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐 D、甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐

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4. 与椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{12} = 1$ 共焦点且过点 $(1 ， \sqrt{3})$ 的双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $y^{2} - 2 x^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$

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5. 已知 $a = \log_{2} 7, b = \log_{3} 8, c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有 $2$ 位优秀， $2$ 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A、乙、丁可以知道自己的成绩 B、乙、丁可以知道对方的成绩 C、乙可以知道四人的成绩 D、丁可以知道四人的成绩

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7. 函数 $f (x) = e^{| x + 1 |} - x^{2} - 2 x - 2$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、40 B、-40 C、80 D、-80

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9. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球 $O$ 上，且 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则此直三棱柱的外接球 $O$ 的表面积是（）

A、25π B、50π C、100π D、 $\frac{500 π}{3}$

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10. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是 $△ A B C$ 的外接圆和以 $A B$ 为直径的圆的一部分，若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ， $A C = B C = 1$ ，则该月牙形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{π}{24}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{π}{24}$ C、 $\frac{1}{4} + \frac{π}{24}$ D、 $\frac{1}{4} - \frac{π}{24}$

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11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 9$ ， $a_{5} = - 1$ ．记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则数列 ${T_{n}}$ （）．

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = e^{| x - k |} - c o s x$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），记 $a = f (0 . 3^{2})$ ， $b = f (2^{0.3})$ ， $c = f (k + l o g_{3} 2)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 给出下列命题：
①若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 同向，则有 $| \vec{b} + \vec{a} | = | \vec{b} | + | \vec{a} |$ ；
② $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $| \vec{a} | + | \vec{b} |$ 表示的意义相同；
③若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，则有 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ；
④ $| \vec{a} | < | \vec{a} | + | \vec{b} |$ 恒成立；
⑤对任意两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，总有 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ；
⑥若三向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是（填序号）

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14. 若 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{6}$ ，则 $tan α =$ .

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15. $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $| P F | = 4 \sqrt{2}$ ，则 $△ P O F$ 的面积．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，过直线 $E F$ 的平面分别与棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 交于 $M$ ， $N$ .设 $B M = x$ ， $x \in [0 ， 1]$ ，给出以下四个结论：①平面 $M E N F ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ； ②当且仅当 $x = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $M E N F$ 的面积最小； ③四边形 $M E N F$ 的周长 $L = f (x)$ ， $x \in [0 ， 1]$ 是单调函数；④四棱锥 $C_{1} - M E N F$ 的体积 $V = h (x)$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 上先减后增.其中正确命题的序号是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ,且 $S_{n} = 2 n^{2} + n$ , $n \in N^{*}$ ,数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 4 \log_{2} b_{n} + 3$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 的通项公式；

(2)、求数列{ $a_{n} \cdot b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A P C = \frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $P B$ 上的四等分点，即 $B M = \frac{1}{4} B P$ ．

(1)、证明：平面 $A M C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P D C$ 与平面 $A M C$ 所成锐二面角的余弦值．

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19. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝ $\frac{a^{2}}{c}$ 与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝ $\sqrt{3}$ ．

(1)、求E的方程；

(2)、过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．

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20. 已知火龙果的甜度一般在11~20度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按 $[11 ， 12)$ ， $[12 ， 13)$ ， $[13 ， 14)$ ， $[14 ， 15)$ ， $[15 ， 16)$ ， $[16 ， 17)$ ， $[17 ， 18)$ ， $[18 ， 19)$ ， $[19 ， 20]$ 分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．
甜度
$[11 ， 12)$
$[12 ， 13)$
$[13 ， 14)$
$[14 ， 15)$
$[15 ， 16)$
$[16 ， 17)$
$[17 ， 18)$
$[18 ， 19)$
$[19 ， 20]$
频数
5
8
12
10
16
14
18
12
5
新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.025
0.010
0.005
$k_{0}$
5.024
6.635
7.879
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记 $M$ 表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件 $M$ 的概率．

(2)、根据上述样本数据，列出 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？

(3)、以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个，设“超甜果”的个数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望．

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21. 设函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值，求a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 2 ， - 1]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} + c o s α \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、在极坐标系中， $M ， N$ 是曲线 $C$ 上的两点，若 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，求 $| O M | + | O N |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 4 | - m x$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > | x - 1 | - x^{2}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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甜度	$[11 ， 12)$	$[12 ， 13)$	$[13 ， 14)$	$[14 ， 15)$	$[15 ， 16)$	$[16 ， 17)$	$[17 ， 18)$	$[18 ， 19)$	$[19 ， 20]$
频数	5	8	12	10	16	14	18	12	5

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879