普通高等学校2022年招生全国统一数学考试模拟测试（新高考）

试卷更新日期：2022-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且 $M \subseteq (∁_{U} N)$ ，则（）

A、 $M ∩ N = \emptyset$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $N ∪ (∁_{U} M) = U$

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2. 若 ${(x + i)}^{2} = 3 + y i$ ，则实数x，y满足（）

A、 $2 y = x$ B、 $y = 2 x$ C、 $x + 2 y = 0$ D、 $2 x + y = 0$

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3. 若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{28 π}{3}$ B、 $20 π$ C、 $28 π$ D、 $32 π$

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4. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n 2 α}{s i n^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、6

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5. 在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{l n x}$ 的结论．若根据欧拉得出的结论，估计 $1 0^{5}$ 以内的素数的个数为（）（素数即质数， $l g e \approx 0.4343$ ，计算结果取整数）

A、2172 B、4343 C、869 D、8686

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6. 若 ${(x^{2} - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为 $\frac{15}{16}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、±2 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l： $x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a}$ ，且 $P Q ⊥ l$ ，垂足为Q点．若四边形 $Q P F_{1} F_{2}$ 为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $(\sqrt{2} - 1 ， 1)$ C、 $(0 ， \sqrt{2} - 1)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{x}$ ，直线 $y = m x + n$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，则 $m + 2 n$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， + ∞)$ B、 $[- 2 l n 2 - 4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{e - 3}{e^{2}}]$ D、 $[l n 2 - \frac{5}{4} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于 $[60 ， 100]$ 之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（）

A、本次成绩不低于80分的人数的占比为75％ B、本次成绩低于70分的人数的占比为5％ C、估计本次成绩的平均分不高于85分 D、本次成绩位于 $[70 ， 90)$ 的人数是其他人数的3倍

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10. 如图所示，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面为正方形， $S D ⊥$ 底面ABCD， $S D = A B$ ，则下列选项中两异面直线所成夹角大于 $4 5^{∘}$ 的是（）

A、BC与SD B、AB与SC C、SB与AD D、AC与SB

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11. 已知函数 $f (x) = A c o s (2 x + φ) - 1$ （ $A > 0$ ， $0 < φ < π$ ），若函数 $y = | f (x) |$ 的部分图象如图所示，函数 $g (x) = A s i n (A x - φ)$ ，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 C、将函数 $y = f (x) + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得到函数 $g (x)$ 的图象 D、函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间为 $[0 ， \frac{π}{6}]$

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12. 阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称 $△ P A B$ 为“阿基米德三角形”．已知抛物线C： $x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为 $\sqrt{3} x - 3 y + 6 = 0$ ，关于“阿基米德三角形” $△ P A B$ ，下列结论正确的是（）

A、 $| A B | = \frac{32}{3}$ B、 $P A ⊥ P B$ C、点P的坐标为 $(\sqrt{3} ， - 2)$ D、 $P F ⊥ A B$

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三、填空题

13. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} a_{8} = 4$ ，则 $l o g_{2} a_{2} + l o g_{2} a_{10} =$ ．

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14. 写出一个同时满足下列条件①②的向量 $\vec{a} =$ ．
① $| \vec{a} | = 1$ ；②向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} = (1 ， - 1)$ 的夹角 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ．

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15. 已知在正四面体 $P - A B C$ 中， $A B = 3$ ，记以PA为直径的球为球O，则平面ABC截球O所得截面的面积为．

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16. 若 $x (e^{x} + a) \geq l n x + 1$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 如图，在梯形ABCD中， $A B / / C D$ ，点E在边CD上， $∠ C = 120 °$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ C E B = 45 °$ ．

(1)、求BE，CE；

(2)、若 $A B = 7$ ，求 $s i n ∠ A E B$ ．

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18. 《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接．当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有 $\frac{1}{2}$ 的受调查者赞成方案A，有 $\frac{1}{3}$ 的受调查者赞成方案B，有 $\frac{1}{6}$ 的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票（以频率作为概率）．

(1)、求甲、乙两人投票方案不同的概率；

(2)、若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设 $X$ 是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{2^{n}} = \frac{n}{2^{n}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的 $n \in N^{*}$ ，令 $b_{n} = {\begin{array}{l} 2 - n ， n 为奇数 \\ 2^{2 - n} ，为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 在如图所示的多面体AFDCBE中， $A B ⊥$ 平面BCE， $A B / / C D / / E F$ ， $B E ⊥ E C$ ， $A B = 4$ ， $E F = 2$ ， $E C = 2 B E = 4$ ．

(1)、在线段BC上是否存在一点G，使得 $E G / /$ 平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由；

(2)、当三棱锥 $D - A F C$ 的体积为8时，求二面角 $D - A F - C$ 的余弦值．

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21. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，过双曲线C的右焦点 $F (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过原点O作直线 $l_{2}$ ，使得 $l_{2} / / l_{1}$ ，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值 $λ$ ，使得 $| \vec{M N} | \cdot \vec{M N} = λ \vec{A B}$ ？若存在，请求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 1$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数a的取值范围．

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