浙江省之江教育评价2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = 3 + 4 i$ ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 化简 $\vec{O M} + \vec{M A} - \vec{O B}$ 等于（）

A、 $\vec{B A}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{B M}$ D、 $\vec{M B}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， - m + 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、3

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4. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 5 ， A C = 6$ ，则以边 $A C$ 所在直线为轴旋转 $△ A B C$ 一周形成的几何体的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $64 π$ D、 $96 π$

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5. 已知两非零向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = 4 \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、8 B、6 C、4 D、2

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6. 已知复数z满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 + 2 i |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、3

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，E为 $B C$ 的中点，点P是以 $A B$ 为直径的圆弧上任一点．则 $\vec{A E} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 + \sqrt{5}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $B C = 3$ ，且有 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，则线段 $A D$ 长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、四棱柱的所有面均为平行四边形 B、长方体不一定是正四棱柱 C、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D、棱台的侧棱延长后必交于一点

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10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， x)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b} - \vec{a}$ 平行，则 $x = 2$ C、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ D、点 $A = (1 ， 3) ， B = (4 ， - 1)$ ，与向量 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$

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11. 下列结论正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、在锐角三角形 $A B C$ 中，不等式 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a \cos B - b \cos A = c$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 3 ， A = 60 °$ ，三角形面积 $S = 3 \sqrt{3}$ ，则三角形的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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12. 如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为8 C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ，E为线段 $A B$ 上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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三、填空题

13. 复数 $i (3 - 2 i)$ 的虚部为．

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 的中点， $A D = 4 ， A B = 3$ ，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C E} =$ ．

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15. 如图，一栋建筑物AB高（30-10 $\sqrt{3}$ ）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为m．

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16. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = B C = 2$ ， $C D = 1$ ， $M$ 是线段 $B C$ 上的动点，若 $\vec{B D} \cdot \vec{A M} = - 3$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是

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四、解答题

17. 设复数 $z = a - i$ ，其中i为虚数单位， $a \in R$ ．

(1)、若 $z (1 + i)$ 是纯虚数，求实数a的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求复数 $\frac{z}{1 + i} + i$ 的模．

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18. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是等腰直角三角形， $A B = A C = 4$ ，且侧棱 $A A_{1} = 6$ ．

(1)、在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并注意，先用铅笔作出草图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，以保证扫描效果）

(2)、求该三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积．

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19. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $c = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为3．

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 A$ 的值．

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20. 已知两个不共线的向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ ，x为正实数．
（I）若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 4 \vec{b}$ 垂直，求 $\cos θ$ ；

（Ⅱ）若 $θ = \frac{π}{6}$ ，求 $| x \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值及对应的x的值．

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21. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件； $a = 4$ ， $\sin^{2} A + \sin B \sin C = \sin^{2} B + \sin^{2} C$ ．
（I）求角A的值；

（Ⅱ）求 $2 b - c$ 的范围．

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22. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知 $2 a \cos B = 2 c - b$ ．

(1)、求角A的值；

(2)、若 $b = 5$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 5$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $2 b \sin B + 2 c \sin C = b c + \sqrt{3} a$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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