浙江省浙东北联盟（ZDB）2020-2021学年高一下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则 ${(1 - i)}^{2}$ 的值等于（）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4 ， A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ，若 $△ A B C$ 的水平放置直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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4. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 5)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(\frac{20}{9} ， \frac{10}{9})$ D、 $(6 ， 3)$

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5. 已知在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $\sin^{2} A - \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sqrt{2} \sin B \sin C = 0$ ，则角 $A$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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6. 已知复数 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，满足 $z (1 + \sqrt{3} i) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $D C$ 上，且 $2 \vec{D E} = \vec{E C}$ ， $B E$ 与 $A C$ 的交点为 $F$ ，则向量 $\vec{D F}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{D C} - \frac{2}{3} \vec{D A}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{D C} + \frac{1}{3} \vec{D A}$ C、 $\frac{3}{5} \vec{D C} + \frac{2}{5} \vec{D A}$ D、 $\frac{2}{5} \vec{D C} - \frac{3}{5} \vec{D A}$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C = 3 ， C D = D A = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{C B} \cdot \vec{C D} = 0$ ， $\vec{C D} \cdot \vec{D A} = 6$ ， $E ， F$ 分别为边 $B C ， C D$ 上的动点，且 $E F = 2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为

A、4 B、5 C、24 D、25

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二、多选题

9. 在复平面内有一个平行四边形 $O A B C$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 对应的复数为 $z_{1} = 1 + i$ ，点 $B$ 对应的复数为 $z_{2} = 1 + 2 i$ ，点 $C$ 对应的复数为 $z_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $C$ 位于第二象限 B、 $z_{1} + z_{3} = z_{2}$ C、 $| z_{1} - z_{3} | = | A C |$ D、 $z_{1} \cdot z_{3} = z_{2}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ ，则下列叙述不正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ > 2$ B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $λ = 2$ C、若 $λ = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 D、若 $λ < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角

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11. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $a = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，且 $\sin A + \sin (B - C) - 2 \sin 2 C = 0$ ，则边 $c$ 的大小可能是（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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12. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是（）

A、该多面体的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ B、该多面体的外接球的表面积为 $8 π$ C、该多面体的内切球的体积为 $\frac{8 \sqrt{6}}{27} π$ D、该多面体的表面积为8

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三、填空题

13. 若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为．

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14. 复数 $4 + 3 i$ 与 $2 - i$ 分别表示向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则表示向量 $\vec{B A}$ 的复数为．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 12$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{5}{13}$ ， $\cos ∠ A C B = \frac{12}{13}$ ，则 $B C$ 的值为．

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16. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个平面向量， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{2}$ ，且对任意 $t \in R$ ，恒有 $| \vec{b} - t \vec{a} | ⩾ | \vec{b} - \vec{a} |$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | + | \vec{a} |$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $θ$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，求实数 $k$ 的值．

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18. 已知复数 $z_{1} = c + 2 i$ ，复数 $z_{2} = 1 + d i$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $c ， d \in R$ ．

(1)、若 $c = 2$ ， $d = 1$ ，求 $| 2 z_{1} - z_{2} |$ 的值；

(2)、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，求 $c^{2} + d^{2}$ 的值．

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 5 ， A B = 5 ， A A_{1} = 4$ ， $D G = B E = 1$ ， $C F = 2$ ．

(1)、求平面四边形 $A E F G$ 的面积；

(2)、求几何体 $A B C D E F G$ 的体积．

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20. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为 $△ A B C$ ），现修成草坪，图中 $M N$ 把草坪分成面积相等的两部分，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在 $A C$ 上．

(1)、若 $A M = 75$ 米，求 $A N$ 长；

(2)、如果 $M N$ 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管 $M N$ 最短，请确定点 $M ， N$ 的位置，并求 $M N$ 的最小值．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 5 ， A C = 4$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 16$ ， $2 \vec{D C} + \vec{D B} = \vec{0}$ ， $\vec{A E} = \vec{E B}$ ．

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{A C}$ ；

(2)、设 $A D$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ，求 $∠ D F E$ 的余弦值大小．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $2 \sin A \cos B = \sin C$ ，且边 $B C$ 上的中线长为4．

(1)、证明： $A = B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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