高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用函数的单调性

试卷更新日期：2022-03-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $a ， b \in R^{+} ， c > - 1$ ，满足 $l g a + a + c = 0 ， l n b + b + c = 0$ ，则（）

A、 $a c o s a > b c o s b$ B、 $a c o s a < b c o s b$ C、 $a s i n b > b s i n a$ D、 $a s i n b < b s i n a$

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2. 设 $f (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) > 0$ ，且对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 总有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (π) < f (e) < f (2)$ B、 $f (2) < f (e) < f (π)$ C、 $f (1) < f (2) - f (1) < f (2)$ D、 $f (2) < f (2) - f (1) < f (1)$

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3. 若仅存在一条直线与函数 $f (x) = a l n x$ （ $a > 0$ ）和 $g (x) = x^{2}$ 的图象均相切，则实数 $a =$ （）

A、e B、 $\sqrt{e}$ C、2e D、 $2 \sqrt{e}$

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4. 已知函数 $f (x) = x - l n x - 1$ ，若不等式 $f (x) \geq a {(x - 1)}^{2}$ 在区间 $(0 ， 1]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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5. 函数 $f (x) = x - 2 l n x + 1$ 的单调递减区间为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - m x^{2} + 2$ （m＞0）的单调递减区间为 $(a ， b)$ ，若 $b - a \leq 2$ ，则m的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数， $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时 $x f (x) + f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a ， x \leq 1 \\ e^{x} - a x ， x > 1 \end{array} (a \in R)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[1 ， e]$ D、 $[0 ， e]$

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9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{1}{2} f (x) + f (x) > 0$ ，且有 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $2 f (x) > e^{\frac{1 - x}{2}}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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10. 函数fx)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若函数f(x)=x²- $\frac{1}{2}$ lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围为（）

A、[1，+∞) B、[1. $\frac{3}{2}$ ) C、[1，2) D、[ $\frac{3}{2}$ ，2)

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12. 若函数f(x)=2x³+ax²+1(a为常数)在区间(-∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0，2)上单调递减，则a的值为（）

A、1 B、2 C、-6 D、-12

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = m - x^{2} + 2 \ln x$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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14. 已知函数 $f (x) = x - \frac{k}{x} - 2 l n x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是单调递增函数，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知函数f(x)=x³-3ax²-bx，其中 a ，b为实数.若f(x)在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，则a的取值范围是.

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16. 函数f(x)＝1＋ $\frac{1}{2}$ x＋cosx在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的单调递增区间是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$ ， $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，证明： $(e^{- x} + 1) f (x) < (\frac{2}{e} + 1) x$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{2 x} + a x^{2} - a x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = - a x + \frac{x}{l n x} (a \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和导函数；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对 $\forall x_{1} \in [e ， e^{2}]$ ，都有 $f (x_{1}) \geq 1$ 成立，且存在 $x_{2} \in [e ， e^{3}]$ ，使 $f^{'} (x_{2}) + \frac{1}{2} a = 0$ 成立，求实数a的取值范围．

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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.3 导数在研究函数中的应用 函数的单调性

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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