高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.2 导数的运算导数的四则运算法则

试卷更新日期：2022-03-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数f(x)= $\frac{3 x^{2} + 1}{5 x - 2}$ 的导数是（）

A、 $\frac{15 x^{2} + 12 x - 5}{{(5 x - 2)}^{2}}$ B、 $\frac{15 x^{2} - 12 x - 5}{{(5 x - 2)}^{2}}$ C、 $\frac{15 x^{2} + 12 x + 5}{{(5 x - 2)}^{2}}$ D、 $\frac{15 x^{2} - 12 x + 5}{{(5 x - 2)}^{2}}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，且满足关系式 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + \ln x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值等于（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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3. 函数 $y = e^{- 2 x + 1} \cos (- x^{2} + x)$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = e^{- 2 x + 1} [2 \sin (x^{2} - x) + (2 x - 1) \cos (x^{2} -$ $x)]$ B、 $y^{'} = - e^{- 2 x + 1} [2 \cos (x^{2} - x) + (2 x - 1) \sin (x^{2}$ $- x)]$ C、 $y^{'} = - e^{- 2 x + 1} [2 \sin (x^{2} - x) + (2 x - 1) \cos (x^{2}$ $- x)]$ D、 $y^{'} = e^{- 2 x + 1} [2 \cos (x^{2} - x) + (2 x - 1) \sin (x^{2} -$ $x)]$

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4. 函数 $y = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ 的导数是（）

A、 $\frac{6}{{(3 x - 1)}^{3}}$ B、 $\frac{6}{{(3 x - 1)}^{2}}$ C、 $- \frac{6}{{(3 x - 1)}^{3}}$ D、 $- \frac{6}{{(3 x - 1)}^{2}}$

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5. 若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 4 \ln x$ ，则 $f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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6. 设 $f (x) = \frac{\ln x}{e^{x}}$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{e}$ D、 $e$

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7. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且e为自然对数的底数，则 $f^{'} (e)$ ＝（）

A、2 B、1 C、0 D、e

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8. 下列各式正确的是（）

A、 ${(l n x)}^{^{'}} = l n x$ B、 ${({(x + 1)}^{2})}^{^{'}} = 2 x$ C、 ${(^{} \cdot s i n x)}^{'} = e^{x} (s i n x + c o s x)$ D、 ${(x^{- 5})}^{^{'}} = - \frac{1}{5} x^{- 6}$

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二、多选题

9. 以下函数求导正确的是（）

A、若 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ B、若 $f (x) = e^{2 x}$ ，则 $f^{'} (x) = e^{2 x}$ C、若 $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ D、若 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则 $f^{'} (x) = - \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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10. 下列导数运算正确的有（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = 2 e^{2 x}$ D、 ${(\ln 2 x)}^{'} = \frac{2}{x}$

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三、填空题

11. 已知函数f(x)=(2x＋1)e^x ， f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)的值为.

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12. 已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x₀ ， y₀)，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是.

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13. 已知函数 $f (x) = 4 e^{x} + e^{- x}$ 和点 $M (0 ， 5)$ ，则导数 $f^{'} (x) =$ ； $y = f (x)$ 的图像在点M处的切线的方程是.

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14. 设 $f (x) = a e^{x} + b \ln x$ ，且 $f' (1) = e, f' (- 1) = \frac{1}{e}$ ，则 $a + b =$ .

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四、解答题

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 1$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数.

(1)、求 $f^{^{'}} (x) < 3 x$ 的解集；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程.

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16. 求下列函数的导数.

(1)、 $y = x - \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$ ；

(2)、 $y = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos x$ .

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17.

(1)、①已知 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} e^{- x}$ ，求 $f^{'} (2)$ .
②已知 $f (x) = \frac{\ln x + 1}{e^{x}}$ 求 $f^{'} (1)$ .

(2)、求过点 $Q (1 ， - 1)$ 的曲线 $y = x^{3} - 2 x$ 的切线方程.

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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