陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P_{0} (- 4 ， - 3) ，$ 则 $c o s (\frac{π}{2} + α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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2. $c o s (- \frac{23 π}{6})$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{O A}$ ＝(2，2)， $\vec{O B}$ ＝(4，1)，在x轴上一点P，使 $\vec{A P}$ · $\vec{B P}$ 有最小值，则点P的坐标为（）

A、(－3，0) B、(2，0) C、(3，0) D、(4，0)

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4. 三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是（）

A、sin1＞sin2＞sin3 B、sin2＞sin1＞sin3 C、sin1＞sin3＞sin2 D、sin3＞sin2＞sin1

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5. 设 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{e_{1}} - 2 k \vec{e_{2}}$ ，若 $A ， B ， D$ 共线，则 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $- \frac{3}{8}$ D、不存在

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6. 已知函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{3})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 图像的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0)$ ， $k \in Z$ B、函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴方程是 $x = \frac{π}{6}$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{5 π}{6}]$ 上为增函数 D、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$

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7. 设 $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{A D} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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8. 为得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个长度单位 B、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个长度单位 C、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个长度单位 D、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个长度单位

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9. 在 $Δ A B C$ 中 $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | = \overset{⇀}{| A B} - \overset{⇀}{A C} |$ ， $A B = 3 ， A C = 4 ，$ 则 $\overset{⇀}{B C}$ 在 $\overset{⇀}{C A}$ 方向上的投影为（）．

A、4 B、3 C、-4 D、5

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10. 在(0，2π)内使sinx>|cosx|的x的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ∪ $(\frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2}]$ C、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、 $(\frac{5 π}{4} ， \frac{7 π}{4})$

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11. 下列命题正确个数为的是（）
① 对于任意向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ ② 若向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 同向，且︳ $\vec{a}$ ︳＞︳ $\vec{b}$ ︳，则 $\vec{a}$ ＞ $\vec{b}$ ③ $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ④ 向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线

A、4个 B、3个 C、2个 D、0个

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12. 已知 $Δ A B C$ 和点M满足 $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .若存在实数m使得 $\vec{A B} + \vec{A C} = m \vec{A M}$ 成立，则m=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{| s i n x |}{s i n x} + \frac{c o s x}{| c o s x |}$ 的值域是.

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14. 若扇形的周长是 $16 c m$ ，圆心角是2(rad)，则扇形的面积是 $c m^{2}$ .

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15. 向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若 $\overset{⇀}{c}$ ＝λ $\overset{⇀}{a}$ ＋μ $\overset{⇀}{b}$ (λ，μ∈R)，则 $\frac{λ}{μ} =$ .

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16. $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $a 、 b$ 满足 $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）
① $\vec{a}$ 为单位向量；② $\overset{⇀}{b}$ 为单位向量；③ $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ；④ $\vec{b} / / \overset{⇀}{B C}$ ；⑤ $(4 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \overset{⇀}{B C}$ .

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三、解答题

17. 如图所示，在等腰直角三角形ACB中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ， D为BC的中点，E是AB上的一点，且 $A E = 2 E B$ ，求证： $A D ⊥ C E$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos (2 x - \frac{π}{4})$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值.

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19. 已知 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ 是同一平面的三个向量，其中 $\overset{⇀}{a} = (1 ， \sqrt{3})$ .

(1)、若 $| \overset{⇀}{c} | = 4$ 且 $\overset{⇀}{c}$ ∥ $\overset{⇀}{a}$ ，求 $\overset{⇀}{c}$ 的坐标；

(2)、若 $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ (\overset{⇀}{a} - \frac{5}{2} \overset{⇀}{b})$ ，求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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20. 某同学用“五点法”画函数

f (x) = A sin (ω x + φ) + B

(其中A>0，0>0，

| φ | < \frac{π}{2})

在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x			$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin(ωx+φ)+B		3		-1

(1)、请根据上表中的部分数据，求出函数f(x)的解析式；

(2)、若定义在区间

[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]

上的函数g(x)=af(x)+b的最大值为7，最小值为1，求实数a，b的值.

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