辽宁省部分重点高中2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在等腰直角三角形 $A B C$ 中，若 $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的值等于（）

A、-2 B、2 C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. $△ A B C$ 中， $\sin (A + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\tan \frac{A}{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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3. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即 $P_{0}$ 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从 $P_{0}$ 运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系 $x O y$ （如图2），则h与t的函数关系式为（）

A、 $h = 2 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{6}) + 1$ ， $t \in [0 ， + \infty)$ B、 $h = 2 s i n (\frac{π}{15} t + \frac{π}{6}) + 1$ ， $t \in [0 ， + \infty)$ C、 $h = 2 s i n (π t - \frac{π}{6}) + 1$ ， $t \in [0 ， + \infty)$ D、 $h = 2 s i n (π t + \frac{π}{6}) + 1$ ， $t \in [0 ， + \infty)$

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4. $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量 $\vec{p} = (a + c ， b)$ ， $\vec{q} = (b - a ， c - a)$ ．若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 函数 $y = a^{x + 3} + 3$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A$ ，且点 $A$ 在角 $θ$ 的终边上，则 $c o s (\frac{7 π}{2} - θ) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若象限角 $θ$ 满足 $s i n θ | s i n (π - θ) | + s i n (\frac{π}{2} + θ) | c o s θ | = - 1$ ，则 $θ$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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7. 若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则下列式子一定成立的是（）

A、 $l o g_{c o s C} \frac{s i n A}{c o s B} > 0$ B、 $l o g_{s i n C} \frac{c o s A}{c o s B} > 0$ C、 $l o g_{s i n C} \frac{s i n A}{s i n B} > 0$ D、 $l o g_{s i n C} \frac{c o s A}{s i n B} > 0$

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8. 在非等腰 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 满足 $(s i n^{2} A - s i n^{2} B) \cdot s i n C = (s i n^{2} A + s i n^{2} B) \cdot s i n (A - B)$ ，若关于x的不等式 $x^{2} c o s A - x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} c o s B > 0$ 对任意 $x \in [0 ， 1]$ 恒成立，则角A的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ B、 $(\frac{π}{8} ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{8})$ C、 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12})$ D、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}) ∪ (\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12})$

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二、多选题

9. 设向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{4}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、与 $\vec{b}$ 同向的单位向量是 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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10. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\frac{t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °}$ B、 $t a n 15 ° \cdot c o s^{2} 15 °$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} c o s^{2} \frac{π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{3} s i n^{2} \frac{π}{12}$ D、 $\frac{1}{16 s i n 50 °} + \frac{\sqrt{3}}{16 c o s 50 °}$

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11. 给出下列命题，其中正确的选项有（）

A、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30° B、 $△ A B C$ 中， $s i n A > s i n B$ 是 $| \vec{B C} | > | \vec{A C} |$ 成立的充要条件 C、若 $\vec{O A} = (3 ， - 4)$ ， $\vec{O B} = (6 ， - 3)$ ， $\vec{O C} = (5 - m ， - 3 - m)$ ， $∠ A B C$ 为锐角，则实数 $m$ 的取值范围是 $(- \frac{3}{4} ， + \infty)$ D、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = a r c c o s (- \frac{1}{2})$ ，则当 $| 2 \vec{a} + x \vec{b} | (x \in R)$ 取最小值时， $x = 1$

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12. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的振幅是2，初相是 $\frac{π}{6}$ B、若把 $f (x)$ 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，得到的函数在 $[- \frac{2 π}{3} ， \frac{4 π}{3}]$ 上是增函数 C、若把函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，则所得函数是奇函数 D、 $\forall x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ ，若 $f (3 x) + a \geq f (\frac{3 π}{2})$ 恒成立，则 $a$ 的范围为 $[\sqrt{3} + 2 ， + \infty)$

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三、填空题

13. $l o g_{2} (s i n 15 ° \cdot s i n 75 °)$ 的值为

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14. 当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = \sin x - 2 \cos x (x \in R)$ 取得最大值，则 $\cos θ + 2 \sin θ =$ .

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15. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c o s C}{c} + \frac{c o s B}{b} = \frac{1}{a}$ ，则 $A$ 的取值范围是.

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16. 正 $△ A B C$ 的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N， $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ ， $\vec{B D} = \vec{D C}$ .给出下列四个结论：
① $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$
②若 $\vec{A N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{N C} = - \frac{1}{4}$
③ $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 不是定值，与直线l的位置有关
④ $△ A M N$ 与 $△ A B C$ 的面积之比的最小值为 $\frac{4}{9}$ .
其中所有正确结论的序号是

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (2 ， s i n α)$ ， $\vec{n} = (c o s α ， - 1)$ ，其中 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $\frac{2 s i n α - 3 c o s α}{4 s i n α - 9 c o s α} + s i n 2 α$ 的值；

(2)、若 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求角 $β$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ， $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ， $B C = 3$ ，如图所示，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，满足AB=AD.

(1)、求A的值；

(2)、若 $B D = 2 C D$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = m \sin (ω x + \frac{π}{6}) (m > 0 ， ω > 0)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数 $f (x)$ 的最大值为2；②函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图像平移得到；③函数 $f (x)$ 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 $π$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、请写出这两个条件的序号，并求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对的边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ . $A = \frac{π}{3}$ ， $a = f (A)$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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20. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{π}{4}) s i n (\frac{π}{4} - ω x) + s i n 2 ω x + t (ω > 0 ， t < 0)$ 的图象与直线 $y = 1$ 相切，并且每相邻两个切点间的距离为 $π$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = 7$ ，若锐角 $A$ 满足 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{6}) = \sqrt{3} - 1$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{5}{2}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆的面积.

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21. 山顶有一座石塔 $B C$ ，设塔顶 $B$ 在地面上的正投影为点 $D$ .记石塔的高度 $B C = a$ ，山的高度 $C D = h$ .

(1)、如图（1），若以 $B$ ， $C$ 为观测点，在塔顶 $B$ 处测得地面上一点 $A$ 的俯角为 $α$ ，在塔底 $C$ 处测得 $A$ 处的俯角为 $β$ ，用 $a$ ， $α$ ， $β$ 表示山的高度 $h$ .

(2)、如图（2），若将观测点 $E$ 选在地面的直线 $A D$ 上，记 $D E = x$ ，已知石塔高度 $a = 20 m$ ，称 $∠ B E C$ 为在 $E$ 点观测石塔 $B C$ 的视角，请试着使用 $x$ ， $h$ 表示 $t a n ∠ B E C$ ；并依据你的结论解决如下问题：如果满足当 $D E = 60 \sqrt{10} m$ 时，观测 $B C$ 的视角（即 $∠ B E C$ ）最大，求山的高度 $h$ .

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22. 已知函数 $h (x) = \sqrt{3} s i n^{4} \frac{x}{2} + 2 s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - \sqrt{3} c o s^{4} \frac{x}{2}$ .

(1)、若先将函数 $h (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将之向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ 图象，求函数 $f (x)$ 的解析式

(2)、设 $g (x) = 3 - 2 m + m c o s (2 x - \frac{π}{6}) (m \neq 0)$ ，则是否存在实数 $m$ ，满足对于任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，都存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立?如果存在，请求出实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明你的理由.

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