吉林省“BEST合作体”2020-2021学年高一下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $z = (2 i - 1) i$ ，则复数 $z$ 的实部和虚部之和为（）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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2. 已知平面向量 $\vec{a} = (m + 1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、0 B、-3 C、1 D、-1

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3. 若 $i z = 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- i$ D、 $i$

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4. $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若 $A = 105 ° ， B = 45 ° ， b = 2 \sqrt{2}$ ，则c等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4}$ ，则角A等于（）

A、30º B、45º C、60º D、90º

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7. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B$ 的中点为 $M$ ， $D D_{1}$ 的中点为 $N$ ，则异面直线 $B_{1} M$ 与 $C N$ 所成角的大小为（）

A、0º B、45º C、60º D、90º

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8. 如图， $A B$ 是单位圆 $O$ 的直径，且满足 $| A C | = | C D | = | D B |$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B D$ 上任意一点，则一定有（）

A、 $P C_{1}$ 与 $A A_{1}$ 异面 B、 $P C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 垂直 C、 $P C_{1}$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 相交 D、 $P C_{1}$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 平行

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10. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点 $S$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，满足 $S - A B C$ 为正三棱锥， $M$ 是 $S C$ 的中点，且 $A M ⊥ S B$ ，侧棱 $S A = 2$ ，则该蹴鞠的表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $32 π$ D、 $36 π$

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二、多选题

11. 已知直线 $a / /$ 平面 $α$ ，直线 $b / /$ 平面 $α$ ，则直线 $a ， b$ 可能（）

A、平行 B、异面 C、相交 D、垂直

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12. 某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 $k m$ ，结果离出发点恰好 $\sqrt{3} k m$ ，则x的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{1}{i}$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A､B､C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 1 ， A = 6 0^{∘} ， b = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为，球的表面积与圆柱的侧面积之比为．

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16. 黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比．例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星．如图，已知正五角星内接于圆 $O$ ， $∠ C A D = 36 °$ ，点 $S$ 为线段 $A D$ 的黄金分割点，则 $s i n 18 ° =$ ，若圆 $O$ 的半径为2， $P Q$ 为圆 $O$ 的一条弦，以 $P Q$ 为底边向圆外作等腰三角形 $P Q M$ ，且 $∠ P M Q = 36 °$ ，则 $| O M |$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b}$ $= (\sqrt{3} ， m)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、若 $m = - 3$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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18. 设复数 $z = a + i$ （ $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ， $a > 0$ ），且 $| z | = \sqrt{10}$ ．
（Ⅰ）求复数 $z$ ；
（Ⅱ）在复平面内，若复数 $\bar{z} + \frac{m + i}{1 - i}$ $(m \in R)$ 对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、A₁C的中点.

(1)、求证：EF∥平面ADD₁A₁；

(2)、求证：EF⊥平面A₁DC．

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20. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 b - 3 c) \cos A + 2 a \cos B = 0$ .

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 3, b + c = 5$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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21. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 是底面圆周上异于 $A ， B$ 的一点， $A F ⊥ D E$ ， $F$ 是垂足.

(1)、证明： $A F ⊥ D B$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ，当三棱锥 $D - A B E$ 体积最大时，求点 $C$ 到平面 $B D E$ 的距离.

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22.

(1)、叙述并证明余弦定理；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，证明： $a = b c o s C + c c o s B$ .

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