广东省普宁市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. i是虚数单位，若集合S= ${- 1, 0, 1}$ ，则（）

A、 $i \in S$ B、 $i^{2} \in S$ C、 $i^{3} \in S$ D、 $\frac{2}{i} \in S$

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2. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{D E}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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3. 某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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4. 若复数z满足 $z (1 + \sqrt{3} i) = 2 i$ ，则在复平面内z对应的点的坐标是（）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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5. 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中， $∠ A B C =$ （）

A、60º B、30º C、90º D、45º

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6. 设 $x$ ， $y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， y)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、10

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7. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，且 $A B = 7$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则该三角形的周长为（）

A、15 B、18 C、20 D、21

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8. 学生到工厂劳动实践，利用 $3 D$ 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 挖去四棱锥 $O - E F G H$ 后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点， $A B = B C = 6 c m$ ， $A A_{1} = 4 c m$ ， $3 D$ 打印所用原料密度为 $0.9 g / c m^{3}$ ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（）g

A、 $118.8 g$ B、 $108 g$ C、 $97.2 g$ D、 $86.4 g$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B、以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥 C、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D、用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

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10. 在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，以下能独立说明 $△ A B C$ 为等腰三角形的是（）

A、 $s i n A = s i n B$ B、 $s i n 2 A = s i n 2 B$ C、 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B}$ D、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$

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11. 设 $z_{1} ， z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $| z_{1} - z_{2} | = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ C、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ D、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ 则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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12. 设 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 A_{4}$ 是平面直角坐标系中相异的四点，若 $\vec{A_{1} A_{3}} = λ \vec{A_{1} A_{2}} (λ \in R)$ ， $\vec{A_{1} A_{4}} = μ {\vec{_{A} A}}_{2} (μ \in R)$ ，且 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = 2$ ，则称 $A_{3} ， A_{4}$ 调和分割 $A_{1} ， A_{2}$ ，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（）

A、A、B、CD四点共线 B、D可能是线段 $A B$ 的中点C C、C、D可能同时在线段 $A B$ 上 D、C、D不可能同时在线段 $A B$ 的延长线上

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三、填空题

13. $i$ 是虚数单位，则 $| \frac{5 + i}{1 - i} |$ 的值为．

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14. 长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.

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15. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为小时．

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16. 在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．点E和F分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ ．

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四、解答题

17. 已知i为虚数单位，复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 8 + 5 i$ ， $z_{3} = 15 - 14 i$ ，

(1)、将 $z_{3} + z_{1} z_{2}$ 化 $a + b i$ 的形式，这里a、 $b \in R$ ；

(2)、如果复平面内表示复数 $z = z_{1} m^{2} - z_{2} m + z_{3}$ 的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

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18. 已知 $\vec{a} = (c o s α ， s i n α)$ ， $\vec{b} = (c o s β ， s i n β)$ ，其中 $0 < α < β < π$ ．

(1)、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c} = (1 ， 0)$ ，若 $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$ ，求 $α ， β$ 的值．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 8$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $C D = 2$ ， $cos ∠ A D C = \frac{1}{7}$ ．
（I）求 $sin ∠ B A D$ ；
（II）求 $B D ， A C$ 的长．

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20. 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径 $O A = 1$ ，母线 $S A = 3$ ，

(1)、A、B是圆O的一条直径的两个端点，母线 $S B$ 的中点D，用软尺沿着圆锥面测量A、D两点的距离，求这个距离的最小值；

(2)、现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率．（材料利用率= $\frac{新工件的体积}{原工件的体积}$ ）

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 $\vec{m} = (a + b ， s i n A - s i n C)$ ，向量 $\vec{n} = (c ， s i n A - s i n B)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、如果 $△ A B C$ 是钝角三角形，求该三角形中最长边与最短边的比值m的取值范围．

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22. 如图所示， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条中线，点O满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点O的直线分别与射线 $A B$ 、射线 $A C$ 交于M、N两点，

(1)、求证： $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ ；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(3)、如果 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，求 $O M^{2} + O N^{2}$ 的取值范围．

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