广东省东莞市七校2020-2021学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-4 B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、4

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 b c o s C$ ， $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、没有符合条件的三角形

查看试题解析
4. 在 $△ A B C$ 中， $C = 90 ° ， A C = 4 ， B C = 3$ ，点P是 $A B$ 的中点，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C P} =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

查看试题解析
5. $α$ ､ $β$ 是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定 $α / / β$ 的是（）

A、 $α$ ､ $β$ 都平行于直线 $l$ ､ $m$ B、 $α$ 内有三个不共线的点到 $β$ 的距离相等 C、 $l$ ､ $m$ 是 $α$ 内的两条直线且 $l / / β$ ， $m / / β$ D、 $l$ ､ $m$ 是两条异面直线且 $l / / α$ ， $m / / α$ ， $l / / β$ ， $m / / β$

查看试题解析
6. 已知m，n表示两条不同直线， $α$ 表示平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α ， n / / α ，$ 则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

查看试题解析
7. 如图，在透明塑料制成的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面EFGH平行；④当 $E \in A A_{1}$ 时， $A E + B F$ 是定值．其中正确说法的是（）

A、②③④ B、①②④ C、①③④ D、①②③

查看试题解析
8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体 $A B C D E F$ 是一个刍甍，其中 $△ B C F$ 是正三角形， $A B = 2 B C = 2 E F$ ，则以下两个结论：① $A B / / E F$ ；② $B F ⊥ E D$ ，（）

A、①和②都不成立 B、①成立，但②不成立 C、①不成立，但②成立 D、①和②都成立

查看试题解析

二、多选题

9. 如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中 $A B = 1$ ， $∠ A C B = \frac{π}{6}$ ， $∠ D = \frac{π}{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A E} + \vec{D C} = \vec{A C} + \vec{D E}$ B、 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = \sqrt{6}$ D、 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} = 3$

查看试题解析
10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为 $\vec{G}$ ，两个拉力分别为 $\vec{F_{1}} ， \vec{F_{2}}$ ，若 $| {\vec{F}}_{1} | = | {\vec{F}}_{2} | ， {\vec{F}}_{1}$ 与 ${\vec{F}}_{2}$ 的夹角为 $θ$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $| {\vec{F}}_{1} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2} | \vec{G} |$ B、 $θ$ 的范围为 $[0 ， π]$ C、当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $| {\vec{F}}_{1} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | \vec{G} |$ D、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $| {\vec{F}}_{1} | = | \vec{G} |$

查看试题解析
11. 以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（）

A、64π cm² B、36πcm² C、54π cm² D、48πcm²

查看试题解析
12. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A A_{1} = 2 A B$ ， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $△ B_{1} E C$ 为直角三角形 B、 $C E / / A_{1} B$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积是长方体体积的 $\frac{1}{6}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 的外接球的表面积是正方形 $A B C D$ 面积的 $6 π$ 倍

查看试题解析

三、填空题

13. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是(填序号).

查看试题解析
14. 若复数 $z = m^{2} - 1 + (m^{2} - m - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为．

查看试题解析
15. 如图所示为水平放置的正方形 $A B C O$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，用斜二测画法画出它的直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ 的面积为.

查看试题解析
16. 如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于 $\sqrt{3}$ a $k m$ ，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = a + b i$ （ $a$ ， $b \in R$ ）， $z_{2} = c + d i$ （ $c$ ， $d \in R$ ）．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ， $d = 4$ 时，求 $| z_{1} |$ ， $| z_{2} |$ ， $| z_{1} \cdot z_{2} |$ ；

(2)、根据（1）的计算结果猜想 $| z_{1} | \cdot | z_{2} |$ 与 $| z_{1} \cdot z_{2} |$ 的关系，并证明该关系的一般性．

查看试题解析
18. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2) ， \vec{c} = (1 ， 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的大小；

(2)、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

查看试题解析
19. 如图所示，在三棱柱 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， D为 $A C$ 的中点， $A A_{1} ＝ A B ＝ 2 ， B C ＝ 3$ .

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求 $A B_{1}$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a (s i n A - s i n B) + b s i n B = c s i n C$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 3 ， a + b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
21. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $A A_{1} = 3$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $C C_{1}$ 、 $B D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ；

(2)、若 $∠ D A B = 6 0^{∘}$ ，求点 $D_{1}$ 到 $B E D$ 的距离．

查看试题解析
22. 如图在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，满足 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ．

(1)、若 $∠ B = \frac{π}{3}$ ，求 $∠ A C D$ 的余弦值；

(2)、点M是线段CD上一点，且满足 $\vec{A M} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $| \vec{A M} |$ 的最小值．

查看试题解析