安徽省卓越县中联盟2020-2021学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， x)$ 共线，则实数 $x$ 的值是（）

A、-1 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、-4

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2. 长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是 $1 ： 2 ： 3$ ，体对角线长为 $\sqrt{14}$ ，则这个长方体的表面积为（）

A、12 B、22 C、32 D、44

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3. 已知在 $△ A B C$ 中，点M为 $A C$ 上的点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为（）

A、 $10 + 2 \sqrt{13}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、 $10 + 4 \sqrt{13}$ D、12

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5. 已知复数 $z = c o s θ + i s i n θ$ （ $i$ 为虚部单位），则 $| z - 2 |$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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6. 已知圆台的上、下底面面积分别为 $36 π$ 和 $49 π$ ，其母线长为 $\sqrt{5}$ ，则圆台的体积为（）

A、 $\frac{254}{3} π$ B、 $\frac{127 \sqrt{5}}{3} π$ C、254π D、 $127 \sqrt{5} π$

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7. 已知复数z满足 $z (2 + i) = 4 - 3 i$ （i为虚部单位），则z的共轭复数的虚部为（）

A、2 B、-2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{t a n B} = 3 a c$ ，则角 $B$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{a} - \vec{b} |$ ，向量 $\vec{e}$ 是与 $\vec{a} - \vec{b}$ 同向的单位向量，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} \vec{e}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3} \vec{e}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，若 $∠ A = 60 °$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则 $| \vec{A G} |$ 的最小值是（）

A、4 B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高为 $(15 \sqrt{3} - 15) m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B ， M ， D$ 三点共线）处测得楼顶 $A$ ，教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $15 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、 $20 m$ B、 $30 m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

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12. 已知定点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $O$ 在同一个平面内，且满足 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A} = - 8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 满足 $| \vec{A P} | = 2$ ， $\vec{P Q} = \vec{Q C}$ ，则 $| \vec{B Q} |$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， 5]$ B、 $[4 ， 6]$ C、 $[5 ， 7]$ D、 $[6 ， 8]$

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二、填空题

13. 若复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = - 2 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第象限．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角是锐角，则实数 $λ$ 的取值范围．

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15. 如图，已知面积为16的正方形 $A B C D$ 的四个顶点均在球 $O$ 的球面上， $⊙ O_{1}$ 为正方形 $A B C D$ 的外接圆， $△ A O_{1} O$ 为等腰直角三角形，则球 $O$ 的体积为．

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16. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积 $S = 2 π R h$ ，其中 $R$ 为球的半径， $h$ 球冠的高)，设球冠底的半径为 $r ，$ 周长为 $C ，$ 球冠的面积为 $S$ ，则 $\frac{r}{R}$ 的值为．（结果用 $S 、 C$ 表示）

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三、解答题

17. 当实数 $m$ 为何值时，复数 $z = \frac{m^{2} + 6 m + 8}{m - 2} + (m^{2} - 3 m + 2) i$ （ $i$ 为虚数单位）

(1)、实数；

(2)、纯虚数．

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18. 已知 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3}) ， | \vec{b} | = 3 ， (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = - 43$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，且 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，求实数t及 $| \vec{c} |$ ．

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19. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆锥的底面积；

(2)、在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a ， - b)$ ， $\vec{q} = (s i n 2 B ， s i n A)$ ，且 $\vec{p} ⊥ \vec{q}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求边 $c$ ；

(2)、求 $\frac{a c o s C - c c o s A}{b}$ 的取值范围．

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21. 某农场有一块等腰直角三角形的空地 $A B C$ ，其中斜边 $B C$ 的长度为200米．为迎接“五一”观光游，欲在边界 $B C$ 上选择一点 $P$ ，修建观赏小径 $P M$ ， $P N$ ，其中 $M$ ， $N$ 分别在边界 $A B$ ， $A C$ 上，小径 $P M$ ， $P N$ 与边界 $B C$ 的夹角都为 $60 °$ ．区域 $P M B$ 和区域 $P N C$ 内种植郁金香，区域 $A M P N$ 内种植月季花．

(1)、求证： $P M + P N$ 为定值；

(2)、为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径 $M N$ ，当 $P$ 点在何处时，三条小径 $(P M ， P N ， M N)$ 的长度和最小？

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22. 在直角 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 在斜边 $B C$ 上（ $M$ ， $N$ 异于 $B$ ， $C$ ，且 $N$ 在 $M$ ， $C$ 之间）．

(1)、若 $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $M$ ， $A M = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A C + 4 A B$ 的最小值；

(2)、已知 $A B = 3$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ M A N = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ B A M = θ$ ．
①若 $s i n θ = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $M N$ 的长；
②求 $△ A M N$ 面积的最小值．

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