安徽省宣城六校2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）
①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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2. 若复数 $z$ 满足 $z + (1 + i) = 2 i$ ，则 $z$ 的模是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{2} a c = a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ，则角 $B$ 的大小是（）

A、60º B、45º C、90º D、135º

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4. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} - λ \vec{e_{2}}$ 共线，则 $λ =$ （）

A、2 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 设平面向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{26}$

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6. 已知夹角为 $\frac{π}{6}$ 的两单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} ， b = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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7. 瑞士著名数学家欧拉发现了公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知， $e^{\frac{3 π}{4} i}$ 表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 在 $△ A B C$ 中， $a = 8 ， b = 4 ， B = 3 1^{∘}$ ，则此三角形的解的情况是（）

A、有两解 B、有一解 C、无解 D、有无数个解

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9. $O$ 为平面上的定点， $A ， B ， C$ 是平面上不共线的三点，若 $\vec{C B} \cdot (\vec{O B} + \vec{O C} - 2 \vec{O A}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、以 $A B$ 为底边的等腰三角形 B、以 $B C$ 为底边的等腰三角形 C、以 $A B$ 为斜边的直角三角形 D、以 $B C$ 为斜边的直角三角形

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10. 如图，为了测量 $A$ 、 $B$ 两岛屿的距离，海洋测量船在 $D$ 处观测到 $A$ 、 $B$ 分别在 $D$ 处的北偏西15°、北偏东45°方向，海洋测量船往正东方向行驶 $10 \sqrt{2}$ 海里至 $C$ 处，观测到 $B$ 在C处的正北方向， $A$ 在 $C$ 处的北偏西60°方向，则 $A$ ， $B$ 两岛屿的距离为（）

A、20海里 B、 $10 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、10海里

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11. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ，点 $M$ 在线段 $B D$ 上运动，若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + 2 y =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} = a c$ ，若 $m = s i n B + \sqrt{3} c o s B$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 2]$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ C、 $[\sqrt{3} ， 2]$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$

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二、填空题

13. 复数 $z$ 在复平面内对应点为 $(1 ， - 2)$ ，则 $\frac{z}{i}$ 的实部为．

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14. 已知 $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ， $| \vec{a} | = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 圆锥侧面展开图是弧长为 $2 π$ 、半径为 $\sqrt{2}$ 的扇形，则该圆锥的体积为 .

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ P = 2 ∠ B$ ， $A P = 1$ ， $△ A C P$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则 $B C =$ .

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{O A} = (- 1 ， - 2) ， \vec{O B} = (- m ， 2) ， \vec{O C} = (3 ， - 1) ， O$ 为坐标原点．

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，试用 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 表示 $\vec{O C} .$

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18. 已知复数 $z = 2 - i (i$ 是虚数单位 $)$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 根．

(1)、求 $p ， q$ 的值；

(2)、复数 $w = p + q i$ ，求复数 $\frac{w}{3 - 4 i}$ 的值．

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19. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $2 c o s C (a c o s B + b c o s A) = c .$

(1)、求C；

(2)、若 $c = \sqrt{15} ， a + b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90^{\circ}$ ， $∠ A D C = 135^{\circ}$ ， $A B = 5$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 绕直线 $A D$ 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

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21. 如图， $M$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上的一点， $A C$ 与 $B M$ 交于点 $N ， \vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，

(1)、求证： $M$ 是 $C D$ 的中点；

(2)、若 $A B = 2 ， B C = 1 ， H$ 是线段 $B M$ 上异于点 $B$ 的一动点，求 $\vec{A H} \cdot \vec{H B}$ 的最小值．

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22. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， c o s x) ， \vec{b} = (3 s i n x ， - c o s x) ， \vec{c} = (4 c o s x ， 0)$ ，设函数 $f (x) = 2 \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且满足 $f (\frac{B}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{4 c}{a} + 2$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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