安徽省芜湖市2020-2021学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. 化简向量 $\vec{O A} + \vec{B C} - \vec{B A} - \vec{O D}$ 等于（）

A、 $\vec{D C}$ B、 $\vec{O D}$ C、 $\vec{C D}$ D、 $\vec{A B}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a^{2} - b^{2} = c^{2} + b c$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{- 2 + i}{1 + i} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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4. 在 $Δ A B C$ 中，若 $b = c \cos A$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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5. 如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）

A、4 B、6 C、8 D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 在线段 $B E$ 上，且 $B F = 3 F E$ ，记 $\vec{a} = \vec{B A}$ ， $\vec{b} = \vec{B C}$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{8} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{5}{8} \vec{b}$

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7. 球 $O$ 的截面把垂直于截面的直径分成 $1 ： 3$ 两部分，若截面圆半径为 $\sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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8. 在 $△ A B C$ 中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若 $△ A B C$ 有两解，则a的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{2}, 5)$ B、 $(5 ， 10)$ C、 $(2, 2 \sqrt{2})$ D、 $(2 \sqrt{2}, 10)$

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9. 如图，在离地面高 $400 m$ 的热气球上，观测到山顶 $C$ 处的仰角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}$ ，已知 $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则山的高度 $B C$ 为（）

A、 $700 m$ B、 $640 m$ C、 $600 m$ D、 $560 m$

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10. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 $2 θ$ ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3 s i n θ}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3 c o s θ}$ C、 $\frac{1}{2 s i n θ}$ D、 $\frac{1}{2 c o s θ}$

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11. 若点M是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $5 \vec{A M} = \vec{A B} + 3 \vec{A C}$ ，则 $△ A B M$ 与 $△ A B C$ 的面积比为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{25}$

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12. 已知在 $△ O A B$ 中， $O A = O B = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P$ 位于线段 $A B$ 上，当 $\vec{P A} · \vec{P O}$ 取得最小值时，向量 $\vec{P A}$ 与 $\vec{P O}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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14. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的高为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b + 2 c = 2 a c o s B$ ， $a = 8$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $b + c$ 的值为.

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16. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 是 $C B_{1}$ 上的一个动点，则 $B M + D_{1} M$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{O A} = (3 ， - 4)$ ， $\vec{O B} = (6 ， - 3)$ ， $\vec{O C} = (5 - x ， 3)$ ．

(1)、若点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求 $x$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ B$ 为直角，求 $x$ 的值．

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18. 已知复数 $z$ 使得 $z + 2 i \in R$ ， $\frac{z}{2 - i} \in R$ ，其中 $i$ 是虚数单位.

(1)、求复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 ${(z + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D ⊥ A B$ ， $A D / / B C$ ，若将图中阴影部分绕 $A B$ 旋转一周.

(1)、求阴影部分形成的几何体的表面积.

(2)、求阴影部分形成的几何体的体积.

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20. 已知 $△ A B C$ 中，过重心 $G$ 的直线 $l$ 交边 $A B$ 于 $P$ ，交边 $A C$ 于 $Q$ ，若 $\vec{A P} = p \vec{P B}$ ， $\vec{A Q} = q \vec{Q C}$ ，其中 $p$ ， $q$ 为非零常数.

(1)、求证： $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 为定值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $1 + \frac{t a n A}{t a n B} = \frac{2 c}{b}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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22. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $E$ 是 $B D$ 的中点，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ．

(1)、若 $∠ A B D = \frac{π}{4}$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、若 $A C = 3$ ，求 $\cos ∠ B A D$ ．

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