安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-03-18 类型：期中考试

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一、单选题

1. $c o s \frac{17 π}{6} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $\vec{A C} = \frac{2}{5} \vec{A B}$ ，则 $\vec{A C}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{B C}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{2} \vec{B C}$

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3. 若 $s i n α > 0$ ，且 $t a n α < 0$ ，则角 $\frac{a}{2}$ 的终边位于（）

A、第一､二象限 B、第二､三象限 C、第二､四象限 D、第一､三象限

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4. 已知 $△ A B C$ 中， $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $∠ A = 30 °$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、 $90 °$ B、 $30 °$ 或 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $60 °$ 或 $120 °$

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5. 将 $- 1845 °$ 改写成 $2 k π + α (0 \leq α < 2 π ， k \in Z)$ 的形式是（）

A、 $- 10 π + \frac{7 π}{4}$ B、 $- 10 π - \frac{π}{4}$ C、 $- 12 π + \frac{7 π}{4}$ D、 $- 12 π + \frac{π}{4}$

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6. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $\vec{a} = (\sqrt{2} ， 1)$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 为（）

A、 $7 + 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{3}}$ C、13 D、 $\sqrt{13}$

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7. 若角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线 $y = - \sqrt{3} x$ 上，则角 $α$ 的取值集合是（）

A、 ${α | α = 2 k π - \frac{π}{3}, k \in Z}$ B、 ${α | α = 2 k π + \frac{2 π}{3}, k \in Z}$ C、 ${α | α = k π - \frac{2 π}{3}, k \in Z}$ D、 ${α | α = k π - \frac{π}{3}, k \in Z}$

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8. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦×矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，弧长等于 $\frac{8 π}{3}$ 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（）平方米.

A、 $\frac{16 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{16 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $2 + 4 \sqrt{3}$

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9. 若函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数且满足 $f (- x) = - f (x + 4)$ ，当 $x \in (2 ， 4)$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、-3 B、3 C、2021 D、-2021

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10. 下列说法中错误的个数是（）
（1）已知 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， - \frac{3}{4})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不能作为平面内所有向量的一组基底（2）若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为 $| \vec{a} |$ （3）若两非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角是 $60 °$ （4）已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ \in (- \frac{5}{3} ， + \infty)$

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 过 $△ A B C$ 的重心O任作一直线分别交线段 $A B$ ， $A C$ 于点D，E，若 $\vec{A B} = x \vec{A D}$ ， $\vec{A C} = y \vec{A E}$ ， $x y \neq 0$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ，函数 $g (x)$ 的图象可以由函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 得到.若方程 $g (x) = \frac{1}{2}$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有6个根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(5 ， \frac{19}{3}]$ B、 $[5 ， \frac{19}{3})$ C、 $(\frac{29}{6} ， \frac{13}{2}]$ D、 $[\frac{29}{6} ， \frac{13}{2})$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (m + 1 ， 2 m - 5)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 若 $| s i n x | = s i n x$ ，则满足条件的所有x组成的集合是.

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15. 已知函数 $f (x) = A t a n (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的相邻两个零点之间的距离是 $\frac{π}{3}$ ，且其图象过点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 与 $(0 ， 1)$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ .

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16. 为创建全国文明城市，宿州市对新汴河风景区开展一系列提升亮化工程，使其呈现古与今､动与静､粗犷与细腻､人与自然和谐统一的特点.现已成为广大市民休闲､娱乐的好去处.我校建模小组要测量新汴河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得 $∠ C A B = 45 °$ ， $∠ C B A = 75 °$ ，且 $A B = 240 m$ ，由此可得河宽约 $m$ .（精确到个位）（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.45$ ， $s i n 75 ° \approx 0.97$ ）

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的终边上一点 $P (5 ， - 12)$ .

(1)、求 $s i n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (\frac{3 π}{2} - α)}{c o s (\frac{3 π}{2} + α)} \cdot \frac{t a n (π + α)}{c o s (3 π - α)}$ 的值.

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18. 设函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{5 π}{12}]$ 上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.

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19. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， - 1)$ .

(1)、当k为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 平行.

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且A，B，C三点共线，求m的值.

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20. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， $a (s i n A - s i n B) + b s i n B = c s i n C$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x - \frac{π}{6}) + b (ω > 0)$ ，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的最大值为2.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式.

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若任意 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ ，都有 $g (x) - 2 \leq m \leq g (x) + 2$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A P ⊥ B D$ ，垂足为P.

(1)、若 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 8$ ，求 $A P$ 的长；

(2)、设 $| \vec{A B} | = 3$ ， $| \vec{A C} | = 4$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求x和y的值.

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