安徽省江南五校2020-2021学年高一下学期阶段性大联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $\frac{1 - i}{2}$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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2. 如图，设 $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，则与 $\vec{A B}$ 不相等的向量为（）

A、 $\vec{O C}$ B、 $\vec{F O}$ C、 $\vec{E D}$ D、 $\vec{F C}$

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3. 设向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 1)$ ，且 $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 以下命题正确的是（）

A、过空间三点有且仅有一个平面 B、平行于同一直线的两个平面互相平行 C、平行于同一直线的两条直线互相平行 D、分别在两个平行平面内的两条直线互相平行

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 1$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $s i n (\frac{π}{2} + A) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，有以下四个命题：
甲： $\vec{a} = 2 \vec{b}$ ；乙： $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ；丙： $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相反；丁： $\vec{a} / / \vec{b}$ ．
若以上关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知复数 $z =$ $\cos θ + i \sin θ$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z - 2 i |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 长，宽，高分别为6cm，8cm，10cm的长方体水槽置于水平桌面上，该水槽内装在高度为8cm的水，若将一半径为3cm的球放入该水槽中（假设球与水槽的底面相切），则水槽内溢出的水的体积约为（）（ $π \approx 3$ ）

A、16 $c m^{3}$ B、12 $c m^{3}$ C、10 $c m^{3}$ D、2 $c m^{3}$

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10. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在球 $O$ 的表面上， $A B = B C = C A = 2$ ，且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为2，则球 $O$ 的内接正方体的棱长为（）

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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11. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ ， $E$ 分别 $A C$ 、 $A B$ 的两点， $\vec{A E} = \vec{E B}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = 0$ B、 $\vec{O E} + \vec{O C} = \vec{0}$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\vec{E D}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影为1

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P$ 、 $Q$ 分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点，沿 $A C$ 将三角形 $D A C$ 折起到 $D^{'} A C$ 的位置，则三棱锥 $A - C P Q$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{24}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{48}$

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二、填空题

13. 若复数 $z = \frac{a}{2} - \frac{1}{1 - i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ ．

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14. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处外都能见到5G基站的身影．如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站 $A B$ ，已知基站高 $A B = 50 m$ ，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离）．该同学在初始位置 $C$ 处（眼睛所在位置）测得基站顶端 $A$ 的仰角为 $4 5^{∘}$ ，该同学向南走 $150 \sqrt{2}$ 米后到达 $F$ 处，此时测得基站顶端 $A$ 的仰角为 $3 0^{∘}$ ，则山高 $B E =$ 米．

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15. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为；

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16. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点， $P$ 为线段 $A E$ 上一点，且满足 $\vec{B P} = m \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ ，则 $m =$ ；若 $▱ A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{B P} |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 ${(z + m i)}^{2} (m \in R)$ 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知向量 $\vec{A B} = (2 ， - 2)$ ， $\vec{A C} = (c o s α ， s i n α - 2)$ ， $α \in [0 ， π]$ ．

(1)、若 $| \vec{B C} | = 7$ ，求角 $α$ 的值；

(2)、判断三角形 $A B C$ 可否为直角三角形，并说明理由．

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19. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = P A = 2$ ．

(1)、求正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、若 $G$ 为三角形 $P A C$ 的重心，在边 $B C$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $G E / /$ 平面 $P A B$ ，若存在，求 $B E ： E C$ 的值，若不存在，请说明理由；

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20. 从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
① $s i n C = \sqrt{3} s i n A$ ， ② $S_{△ A B C} = 4 \sqrt{3}$ ， ③ $c o s (B + C) = \sqrt{3} c o s 2 B$ ．

问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 4$ ， $a = 4 c o s C + \sqrt{3} c s i n B$ ，．

注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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21. 如图，在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $D_{1} C$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $M$ 为侧面 $D D_{1} C_{1} C$ 内一点，且 $A M / /$ 平面 $E C D_{1}$ ，求 $A M$ 的最小值．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 中，已知对角线 $A C = 2$ ，且满足 $∠ D = 60 °$ ， $B C^{2} - A B^{2} = A B \cdot A C$ ．

(1)、求证： $∠ B A C = 2 ∠ A C B$ ；

(2)、若△ $A B C$ 为锐角三角形，设四边形 $A B C D$ 面积为 $S$ ，求证： $S < 2 + \sqrt{3}$ ．

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