安徽省滁州市2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z - (1 + i) = 2 i$ ，则 $z$ 的模是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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2. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，若 $\vec{A D} = \vec{B C}$ ，则下面互为相反向量的是（）

A、 $\vec{A C}$ 与 $\vec{C B}$ B、 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O D}$ C、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ D、 $\vec{A O}$ 与 $\vec{O C}$

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3. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x - 4 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 < x < 1}$ C、 ${x | - 4 < x < 2}$ D、 ${x | x < - 4$ 或 $x > - 1}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、两个不同平面 $α$ 和平面 $β$ 有不同在一条直线上的三个公共点

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5. “ $x > 0$ ”是“ $l n (x + 1) > 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 瑞士著名数学家欧拉发现了公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知， $e^{\frac{3 π}{4} i}$ 表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 $4 5^{∘}$ ，腰和上底长均为2的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、 $8 + 4 \sqrt{2}$ D、 $16 + 8 \sqrt{2}$

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8. 如图所示，平面 $α ∩ β = l$ ， $A$ ， $B \in α$ ， $C \in β$ ，且 $C \notin l$ ，直线 $A B ∩ l = M$ ，过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的平面记作 $γ$ ，则 $γ$ 与 $β$ 的交线必通过（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ 但不过点 $M$ D、点 $C$ 和点 $M$

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9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 3)$ ，则向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{2 \sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A + B = 2 C$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $S_{△ A B C}$ 等于（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 如图，为了测量 $A$ 、 $B$ 两岛屿的距离，海洋测量船在 $D$ 处观测到 $A$ 、 $B$ 分别在 $D$ 处的北偏西15°、北偏东45°方向，海洋测量船往正东方向行驶 $10 \sqrt{2}$ 海里至 $C$ 处，观测到 $B$ 在C处的正北方向， $A$ 在 $C$ 处的北偏西60°方向，则 $A$ ， $B$ 两岛屿的距离为（）

A、20海里 B、 $10 \sqrt{3}$ 海里 C、 $10 \sqrt{2}$ 海里 D、10海里

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12. 在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为 $2 c m$ 的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心 $O$ （水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（）

A、 $\frac{16 π}{9} c m^{3}$ B、 $\frac{32 π}{9} c m^{3}$ C、 $\frac{16 π}{3} c m^{3}$ D、 $\frac{64 π}{9} c m^{3}$

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二、填空题

13. 若复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 3 - 4 i$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ .

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14. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且直角边长为 $\sqrt{2}$ ，则这个圆锥的表面积等于.

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15. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的平面向量， $\vec{A B} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{A D} = - \vec{a} + x \vec{b}$ ，若 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，则实数 $x =$ .

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ P = 2 ∠ B$ ， $A P = 1$ ， $△ A C P$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则 $B C =$ .

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三、解答题

17. 已知复数 $z = a^{2} + 3 a - 4 + (a^{2} - a) i$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、若复数 $z$ 为实数，求 $a$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 为纯虚数，求 $a$ 的值.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ， $\vec{c} = (4 ， 7)$ .

(1)、求 $2 \vec{a} - 3 \vec{b} + \vec{c}$ ；

(2)、求满足 $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ 的实数 $m$ ， $n$ ；

(3)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{b} + k \vec{c})$ ，求实数 $k$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = - \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、求 $c o s (A - \frac{π}{3})$ 的值.

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20. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $B C = 6$ ， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $M$ 和 $N$ 分别在线段 $A D$ 和 $D C$ ，且 $A M = M D$ ， $D N = 2 N C$ .

(1)、若 $\vec{D C} = m \vec{B C} + n \vec{B A}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、求 $\vec{B M} \cdot \vec{B N}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (x + a) (a > 0)$ ，若点 $M (x ， y)$ 在函数 $y = g (x)$ 图象上运动时，对应的点 $M^{'} (\frac{1}{3} x ， \frac{y}{2})$ 在函数 $y = f (x)$ 图象上运动，则称函数 $y = g (x)$ 是函 $y = f (x)$ 的相关函数.

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、对任意的 $x \in [0 ， 1]$ ， $f (x)$ 的图象总在其相关函数图象的上方，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x \cdot c o s (x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $f (\frac{C}{4}) = 2 - \sqrt{3}$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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