安徽省池州等三市2020-2021学年高一下学期数学4月联考试卷

试卷更新日期：2022-03-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∪ B$ 子集的个数为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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2. 复数 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i$ ， $z_{2} = 1 + 2 \sqrt{2} i$ ，则 $| z_{1} z_{2} | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、9

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3. 已知复数 $z = (m^{2} + 3 m - 4) + (m + 2) i$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- 4 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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4. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， x)$ ， $\overset{⇀}{c} = (4 ， x^{2})$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、0 C、-1 D、-2

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5. 若正数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x + 3 y = x y$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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6. 已知函 $f (x) = l o g_{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x) + 3$ ，且 $f (m) = - 5$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、-1 B、-5 C、11 D、13

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $∠ A = 6 0^{∘}$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ，则 $c o s C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 若 $t a n θ = 3 t a n \frac{π}{7}$ ， $\frac{c o s (θ + \frac{9}{14} π)}{s i n (θ - \frac{π}{7})} =$ （）

A、-4 B、-2 C、-2 D、-1

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9. 设 $a = l o g_{5} 15$ ， $b = l o g_{6} 18$ ， $c = l o g_{7} 21$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，且向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $s i n θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{70}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{70}}{14}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{14}}{14}$ D、 $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $C A = \sqrt{2}$ ， $C B = \sqrt{5}$ ， $c o s C = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $P$ 、 $Q$ 是边 $A B$ 上的两个动点，且 $P Q = 1$ ，则 $\vec{C P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{4} ， 2]$ B、 $[\frac{3}{4} ， 3]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[2 ， 5]$

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12. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[1 ， \frac{7}{2}]$ D、 $[2 ， \frac{7}{2}]$

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二、填空题

13. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $2^{x_{0}} = l o g_{2} x_{0}$ ，则 $\neg p$ 为.

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14. 已知函 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 \\ x^{2} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ， $f (a) = 2$ ，则 $a =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为3， $b^{2} - c^{2} = 21$ ， $c o s A = \frac{4}{5}$ ，则 $a$ 的值为.

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16. 已知方程 $| x^{2} + x + 1 | - k | x | = 0$ 恰有4个互异的实数根，则实数 $k$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 3 a x^{2} + a x - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 在 $R$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知复数 $z_{1} = m + m i (m \in R)$ ， $z_{2} = (s i n θ + c o s θ) + (λ - s i n 2 θ) i (λ ， θ \in R)$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求复数 $z_{1} + \frac{9}{z_{1}}$ 的模；

(2)、若 $z_{1} = z_{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $3 b s i n B + 3 c s i n C = 3 a s i n A - 2 b s i n C$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、若 $b = 3$ ， $c = 2$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求线段 $A D$ 的长度.

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A C}$ ， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ .

(1)、若 $\vec{A O} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m ， n \in R)$ ，求 $m n$ 的值；

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $△ O B C$ 的面积为 $S'$ ，求 $\frac{S'}{S}$ 的值.

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21. 某公司欲将100万元资金全部投给 $A$ ， $B$ 两个项目，根据市场预测， $A$ ， $B$ 两个的收益 $y_{i} (i = 1 ， 2)$ 与投入资金 $t_{i} (i = 1 ， 2)$ 的关系式分别为 $y_{1} = \frac{1}{5} t_{1}$ ， $y_{2} = 2 a \sqrt{t_{2}}$ （单位：万元），其中 $a$ 为常数且 $0 < a \leq 3$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，如何进行投资才能使得总收益 $y$ 最大；（总收益 $y = y_{1} + y_{2}$ ）

(2)、考虑到该公司的收益，无论资金如何分配，要使得总收益都不低于16万元，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = c o s x (s i n x + \sqrt{3} c o s x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0 ， m]$ 上恰有2021个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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