河南省南阳市南召县2021-2022学年九年级下学期开学抽考数学试卷

试卷更新日期：2022-03-15 类型：开学考试

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一、单选题

1. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）

A、0 B、1 C、－5 D、－2

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3. 如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C B}$ ， ∠A＝40°，则∠DEB的度数为（）

A、50° B、100° C、70° D、80°

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $R t △ A O B$ 的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，将 $R t △ A O B$ 沿直线 $y = - x$ 翻折，得到 $R t △ A^{'} O B^{'}$ ，过 $A^{'}$ 作 $A^{'} C$ 垂直于 $O A^{'}$ 交y轴于点C，则点C的坐标为（）

A、 $(0 ， - 2 \sqrt{3})$ B、 $(0 ， - 3)$ C、 $(0 ， - 4)$ D、 $(0 ， - 4 \sqrt{3})$

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5. 下列关于二次函数y＝2x²的说法正确的是（）

A、它的图象经过点（－1，－2） B、它的图象的对称轴是直线x＝2 C、当x＜0时，y随x的增大而增大 D、当－1 $\leq x \leq$ 2时，y有最大值为8，最小值为0

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6. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：

设铁塔顶端到地面的高度 $F E$ 为xm，根据以上条件，可以列出的方程为(　　)

A、 $x = (x - 10) \tan 50 °$ B、 $x = (x - 10) \cos 50 °$ C、 $x - 10 = x \tan 50 °$ D、 $x = (x + 10) \sin 50 °$

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7. 下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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8. 看了《田忌赛马》故事后，数学兴趣小组用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6、4、2，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（）
马匹等级
下等马
中等马
上等马
齐王
2
4
6
田忌
1
3
5

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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9. 将关于x的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) =$ …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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10. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若sinA= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则锐角∠A=°.

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12. 二次函数 $y = x^{2} + c$ 的图象与x轴无交点，写出一个满足条件的实数c的值为.

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13. 设a、b是方程 $x^{2} + x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 ${(a + 1)}^{2} + b$ 的值为.

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14. △ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝

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15. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则 $\frac{1}{2} P B + P C$ 的最小值为.

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(\sqrt{6} - \sqrt{3})}^{2} + (2 c o s 45 ° - 1)$ $(\frac{\sqrt{8}}{2} + 1) + {(\sqrt{2021})}^{0}$

(2)、用公式法解方程： $x^{2} + 2 x - 4 = 0$

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17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 5 m x + 4 m^{2} = 0$ .

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值.

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18. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
90
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335

(1)、该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到 $0.01$ ），由此估出红球有个.

(2)、现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.

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19. 如图，⊙O的半径为4，点E在⊙O上，OE⊥弦AB，垂足为D， $O D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求AB的长；

(2)、若点C为⊙O上的一点（不与A，B重合），直接写出∠ACB的度数.

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20. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

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21. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价x（元/千克）

55

60

65

70

销售量y（千克）

70

60

50

40

(1)、求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

(2)、为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)、当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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22. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；

(3)、点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标.

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23. 如图1，在四边形ABCD中， $∠ A B C = ∠ B C D$ ，点E在边BC上，且 $A E / / C D$ ， $D E / / A B$ ，作 $C F / / A D$ 交线段AE于点F，连接BF.

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ E A D$ ；

(2)、如图2，若 $A B = 9$ ， $C D = 5$ ， $∠ E C F = ∠ A E D$ ，求BE的长；

(3)、如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.

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摸球的次数	200	300	400	1000	1600	2000
摸到白球的频数	72	90	130	334	532	667
摸到白球的频率	0.3600	0.3100	0.3250	0.3340	0.3325	0.3335

销售单价x（元/千克）	55	60	65	70
销售量y（千克）	70	60	50	40

马匹等级	下等马	中等马	上等马
齐王	2	4	6
田忌	1	3	5