山西省晋中市灵石县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2020年太原将正式步入地铁时代，太原轨道交通近期建设的1，2，3号线在全国是第338条线路，下面是中国四个城市的地铁图标，其中是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 下列多项式中，能分解出因式 $m + 1$ 的是（）

A、 $m^{2} - 2 m + 1$ B、 $m^{2} + 1$ C、 $m^{2} + m + 1$ D、 $m^{2} + m$

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3. 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）

A、角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C、三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D、以上均不符合题意

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A D = D C ， ∠ B = 64 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $32^{\circ}$ C、 $40^{\circ}$ D、 $48^{\circ}$

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5. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（）

A、直角三角形两个锐角互余 B、三角形内角和等于180° C、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

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6. 如图，△ABC沿线段BA方向平移得到△DEF，若AB＝6，AE=2，则平移的距离为（　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. 下列分解因式正确的是（）

A、-x²+4x=-x(x+4) B、x²+xy+x=x(x+y) C、-x²+y²=(x+y)(y-x) D、x²-4x+4=(x+2)(x-2)

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8. 如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它绕点C旋转一定角度，扶起平放在地面上(如图)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为（）

A、75° B、25° C、115° D、105°

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9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D ，交BC于点E ， AC边的垂直平分线交AC于点F ，交BC于点G ，连接AE ， AG ．则∠EAG的度数为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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10. 在△ABC中，AB＝AC﹥BC，D为BC的中点，动点P从点B出发，沿B→A→C的方向运动．运动过程中使得△PBD为等腰三角形的P的位置有（）个

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

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二、填空题

11. 命题“等腰三角形的两腰上的高线相等” 的逆命题是：．

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12. 如图所示的美丽图案，绕着它的旋转中心至少旋转度，能够与原来的图象重合.

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13. 如图，点O在 $△ A B C$ 内，且到三边的距离相等，若∠A=55°，则∠BOC= ．

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14. 如图，点 $D ， E$ 分别是等边三角形 $A B C$ 的边 $A B ， A C$ 的点，且 $A D = C E ， B E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ．则 $∠ B O D$ 的度数为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D是线段 $B C$ 上一点，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折叠，得到 $△ A D B^{'}$ ，当 $D B^{'} ⊥ B C$ 时， $B D$ 的长为．

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三、解答题

16. 下面是小华同学分解因式 $9 a^{2} (x - y) + 4 b^{2} (y - x)$ 的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式 $= 9 a^{2} (x - y) + 4 b^{2} (x - y)$ ①
$= (x - y) (9 a^{2} + 4 b^{2})$ ②
$= (x - y) (3 a + 2 b)^{2}$ ③

(1)、任务一：以上解答过程从第步开始出现错误．

(2)、任务二：请你写出正确的解答过程．

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17. 在直角坐标系中，将 $△ A B C$ 平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，它们的三个顶点坐标如表所示：
$△ A B C$
A(a，5)
B(1，3)
C(2，6)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$
A₁(3，3)
B₁(5，b)
C₁(c，d)

(1)、观察表中各对应点坐标的变化填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、 $△ A B C$ 向平移个单位长度，再向平移个单位长度可以得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、①在坐标系中画出 $△ A B C$ 及平移后△A₁B₁C₁；
②以坐标原点O为旋转中心，将 $△ A B C$ 顺时针旋转90°，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ 、 $A D$ 、 $A B$ 于点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ ，连接 $O B$ ， $O C$ .

(1)、求证：点 $O$ 在 $A B$ 的垂直平分线上；

(2)、若 $∠ C A D = 24 °$ ，求 $∠ B O F$ 的度数.

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19.

(1)、探究发现：
小明计算下面几个题目
① $(x + 2) (x + 3)$ ；② $(x - 4) (x + 1)$ ；③ $(y + 4) (y - 2)$ ；④ $(y - 5) (y - 3)$
后发现，形如 $(x + p) (x + q)$ 的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： $(x + p) (x + q) = ()^{2} + () x + ()$

(2)、面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算 $(x + p) (x + q)$ ，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．

(3)、逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式： $x^{2} - 7 x + 10$ .

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20. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．

(1)、求证：BE＝CF；

(2)、如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．

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21. 如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝13，DM＝5．

(1)、在旋转过程中．
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；

(2)、若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D₁转到其内的点D₂处，连接D₁D₂ ．如图②，此时∠AD₂C＝135°，CD₂＝20，求BD₂的长．

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22. 综合与实践
【问题情境】

在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1， $△ A B C ≌ △ D E F$ ， AB＝AC，DE＝DF．

【操作发现】

(1)、勤奋小组的同学把这两张纸片完全重合，点A与点D重合，将 $△ D E F$ 绕点D逆时针方向旋转到如图2的位置，连接BE和CF．他们发现BE与CF之间存在着一定的数量关系，请写出这些关系并说明理由；

(2)、创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把 $△ D E F$ 垂直翻转，再平移使得点E与点A重合，点D与点C重合，再将 $△ D E F$ 沿射线CA的方向向上平移到图3的位置，连接BE和CF，他们发现了BE和CF之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；

(3)、请你参照以上操作，将图1中的 $△ D E F$ 在同一平面内进行平移、旋转、翻转等图形变换，构成一种与图2和图3都不相同的图形，在图4中画出构造出的新图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

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23. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，AB=6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），已知点P、Q都以每秒 $0.5 c m$ 的速度同时开始运动，连接PQ交AB于D．

(1)、运动几秒后， $△ P C Q$ 为直角三角形？

(2)、求证：在运动过程中，点D始终为线段PQ的中点；

(3)、过P作PE⊥AB于E，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果变化请说明理由．

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$△ A B C$	A(a，5)	B(1，3)	C(2，6)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$	A₁(3，3)	B₁(5，b)	C₁(c，d)