河北省沧州市沧县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 使代数式 $\sqrt{x + \frac{1}{2}}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、x＞ $- \frac{1}{2}$ B、x≥ $- \frac{1}{2}$ C、x＞ $\frac{1}{2}$ D、x≤ $- \frac{1}{2}$

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2. 下列式子一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a^{2}}$ B、－ $\sqrt{a}$ C、 $\sqrt[3]{a}$ D、 $\sqrt{a}$

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3. 墨迹覆盖了等式“ $2 \sqrt{3} ○ \sqrt{27} = - \sqrt{3}$ ”中的运算符号，则覆盖的是（）

A、+ B、﹣ C、× D、÷

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4. 如图为小明的答卷，他的得分应是（）

A、40 B、60 C、80 D、100

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5. 已知直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边长为（）

A、8 B、10 C、8或10 D、10或 $2 \sqrt{7}$

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6. 若 $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{3}$ 可以合并，则a可以是（）

A、0.9 B、0.3 C、0.03 D、0.6

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7. 在直角坐标系中，点P(﹣3，5)到原点的距离是（）

A、4 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{34}$ D、4或 $\sqrt{34}$

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8. 如图为5×5的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有（）

A、b、c、d B、c、d C、a、d D、b、c

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9. 计算 $\sqrt{3} + | \sqrt{3} - \sqrt{5} | + \frac{1}{2} (\sqrt{16} - 2)$ 的结果是（）

A、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{5} + 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $- \sqrt{5} + 1$ D、 $- \sqrt{5} + 3$

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10. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{(a + b)^{2}} + | b |$ 的结果是（）

A、a+2b B、﹣a C、a﹣2b D、﹣a﹣2b

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11. 我们把形如 $a \sqrt{x} + b$ （a，b为有理数， $\sqrt{x}$ 为最简二次根式）的数叫做 $\sqrt{x}$ 型无理数，如 $3 \sqrt{5} + 1$ 是 $\sqrt{5}$ 型无理数，则 $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^{2}$ 是（）

A、 $\sqrt{3}$ 型无理数 B、 $\sqrt{5}$ 型无理数 C、 $\sqrt{2}$ 型无理数 D、 $\sqrt{15}$ 型无理数

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12. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是 $△$ ABC的高，则BD的长为（）

A、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ B、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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13. 已知 $x = \sqrt{3} + 2$ ， $y = \sqrt{3} - 2$ ，则代数式x³﹣xy²的值为（）

A、24 B、 $18 + 8 \sqrt{3}$ C、 $3 + 2 \sqrt{3}$ D、 $24 + 16 \sqrt{3}$

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14. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）

A、45 B、36 C、25 D、18

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15. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90^{°}$ ， $A D = 4$ ， $B C = 3$ .分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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16. 我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设 $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} > \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x＞0，由 $x^{2} = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} = 2$ ，解得 $x = \sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ ．根据以上方法，化简 $\sqrt{6 + 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、﹣12 C、 $- \sqrt{6}$ D、 $- 6 \sqrt{3}$

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二、填空题

17. 代数式 $\frac{1}{\sqrt{a - 3}}$ 有意义，a应当满足的条件是．

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18. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是．

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19. 在 $\sqrt{8} ， \sqrt{12} ， \sqrt{27} ， \sqrt{18}$ 中与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的有个．已知 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3$ ，则y^x＝．若 $\sqrt{3}$ 的整数部分为x，小数部分为y，则 $\sqrt{3} x - y$ ＝．

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三、解答题

20. 已知Rt $△$ ABC的面积为 $\sqrt{5}$ ，斜边长为3，两直角边长分别为a，b．求代数式 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值．

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21. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{75} - 3 \sqrt{27} + \frac{1}{2} \sqrt{12}$ ；

(2)、 $(2 \sqrt{5} + 1)^{2} + (2 \sqrt{5} - 1)^{2}$ ；

(3)、 $\sqrt{20} - \sqrt{8} \div 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{45}$ ．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(8， $2 \sqrt{3}$ )，点B在x轴的正半轴上，且OB＝10．

(1)、求AB的长；

(2)、求 $△$ OAB的周长．

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23. 如图，在Rt $△$ ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，到C点停止．连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)、求 $△$ ABC的面积；

(2)、当PA＝PB时，求t的值．

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24. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

(1)、如图1，在 $△$ ABC中，AB＝AC＝ $2 \sqrt{5}$ ， BC＝4，求证： $△$ ABC是“美丽三角形”；

(2)、如图2，在Rt $△$ ABC中，∠C＝90°，AC＝ $4 \sqrt{3}$ ，若Rt $△$ ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

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25. 先化简，再求值： $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ ，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．

(1)、的解法是不正确的，不正确的原因在于未能符合题意地运用二次根式的性质：；

(2)、先化简，再求值： $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ ，其中a＝﹣2；

(3)、有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}} - \sqrt{c^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} + \sqrt{(a - c)^{2}}$ ．

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26. 在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求2a²﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ．
∴（a﹣2）²＝3，即a²﹣4a+4＝3．
∴a²﹣4a＝﹣1．
∴2a²﹣8a+1＝2（a²﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：

(1)、试化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ 和 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求4a²﹣8a+1的值．

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