浙教版备考2022年中考数学二轮复习训练题4：二次函数

试卷更新日期：2022-03-15 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 抛物线y=2x²－2 $\sqrt{2}$ x+1与坐标轴的交点个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = c x + a$ 和二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2 (a 、 b$ 是常数， $a \neq 0)$ 的图象经过点 $(2 ， 1)$ 和 $(4 ， - 2)$ ，且当 $0 ⩽ x ⩽ m$ 时，函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最小值为 $- 2$ ，最大值为1，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 ⩽ m ⩽ 0$ B、 $2 ⩽ m < \frac{7}{2}$ C、 $2 ⩽ m ⩽ 4$ D、 $m ⩾ 2$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示.下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③m为任意实数，则 $a + b > a m^{2} + b m$ ；④ $a - b + c > 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ .其中正确结论的个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 3$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（）

A、一直增大 B、始终不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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6. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂ ，有下列结论：①当x₁＞x₂+2时，S₁＞S₂；②当x₁＜2﹣x₂时，S₁＜S₂；③当|x₁﹣2|＞|x₂﹣2|＞1时，S₁＞S₂；④当|x₁﹣2|＞|x₂+2|＞1时，S₁＜S₂。其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的一个交点E在点（－3，0）和（－2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（）

A、 $- \frac{2}{25} \leq a \leq - \frac{3}{16}$ B、 $- \frac{1}{12} \leq a \leq - \frac{3}{25}$ C、 $- \frac{1}{18} \leq a \leq - \frac{2}{25}$ D、 $- \frac{1}{3} \leq a \leq - \frac{1}{18}$

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8. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (2 ， 1)$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1 (a \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{49}{32} < a \leq - \frac{3}{4}$ 或 $a \geq 1$ B、 $a \geq - \frac{3}{4}$ 或 $a < - \frac{49}{32}$ C、 $- \frac{3}{4} \leq a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ D、 $a \leq - \frac{3}{4}$ 或 $a \geq 1$

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与对称轴直线 $x = m$ 交于点A，与 $x ， y$ 轴交于 $B ， C ， D$ 三点，下列命题正确的是（）
① $a b c > 0$ ；②若 $O D = O C$ ，则 $a c + b + 1 = 0$ ；③对于任意 $x_{0} (x_{0} \neq m)$ ，始终有 $a x_{0}^{2} + b x_{0} > a m^{2} + b m$ ；④若B的坐标为 $(- m ， 0)$ ，则C的坐标为 $(3 m ， 0)$ ．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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10. 如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x²+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=﹣x²+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）

A、1.4 B、2.5 C、2.8 D、3

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二、填空题

11. 我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，且b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图像（如图所示），并写出下列结论：
①图像与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图像具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4；
⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中错误的结论是（填序号）．

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 1$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），直线 $y = k x + b$ 经过点A；当 $b = 1$ 时，直线 $y = k x + b$ 分别与y轴，抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交于 $P_{1}$ ， $Q_{1}$ 两点；当 $b = 2$ 时，直线 $y = k x + b$ 分别与y轴，抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交于 $P_{2}$ ， $Q_{2}$ 两点；……；当 $b = n$ （ $n$ 为正整数）时，直线 $y = k x + b$ 分别与y轴，抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交于 $P_{n}$ ， $Q_{n}$ 两点，则线段 $P_{n} Q_{n}$ 长为．（用含n的代数式表示）

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13. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则 $\frac{\sqrt{10}}{10} P C + P D$ 的最小值为.

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14. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D ，点A ， B是两条抛物线的两个交点，点E ， F ， G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

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15. 已知抛物线 $y = - \frac{3}{16} (x - 1) (x - 9)$ 与x轴交于A ， B两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x轴交于点D ， ⊙C的半径为1，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为.

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C.若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为

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三、综合题

17. 如图，已知抛物线y＝ax²﹣4ax交x轴于点A，与直线y＝ $\frac{1}{2}$ x交于点B（非原点），过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，BC＝6．

(1)、求a的值．

(2)、若P是线段BC上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线OB与抛物线于E，F．求线段EF的最大值．

(3)、若P是射线BC上一点，作点F关于直线BC的对称点G，连结PG，BG．是否存在△BPG与△PBE相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点G的坐标．

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18. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC.

(1)、求点B的坐标和a的值；

(2)、如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设△CDE的面积为s，若 $s = - \frac{3}{4} t$ ，求点D的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB=2∠APB，求点P的坐标.

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19. 在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“H点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H点”.

(1)、点 $(m ， n)$ 和它的“H点”均在直线 $y = k x + a$ 上，求k的值；

(2)、若直线 $y = k x + 3$ 经过的A，B两点恰好是一对“H点”，其中点A还在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，一条抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 也经过A，B两点，求该抛物线的解析式；

(3)、已知 $A (m ， n) (m < n)$ ，B为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上的一对“H点”，且满足： $m + n = 2$ ， $m n = - 3$ ，点P为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在3个点P满足△PAB的面积为16，求 $a + b + c$ 的值.

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20. 如图，已知抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y= $\frac{1}{2}$ x-4.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR.求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2 $\sqrt{5}$ 个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知：抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ 三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点 $P$ 为直线 $B C$ 上方抛物线上任意一点，连 $P C$ 、 $P B$ 、 $P O$ ， $P O$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，设 $\frac{P E}{O E} = k$ ，求当 $k$ 取最大值时点P的坐标，并求此时 $k$ 的值；

(3)、如图2，点Q为抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点，点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为点D．
①求 $△ B D Q$ 的周长及 $t a n ∠ B D Q$ 的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足 $t a n ∠ B M Q = \frac{1}{t}$ （ $t$ 为大于0的常数），求点M的坐标．

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22. 已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.

(1)、①如图2，求出抛物线y＝x²的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x²+1与y＝x²的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ▲ ；

(2)、若抛物线y＝ax²+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；

(3)、若抛物线y＝mx²+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx²+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值.

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23. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．

(1)、求B、C两点坐标；

(2)、求该二次函数的关系式；

(3)、若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

(4)、若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．

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24. 如图1，二次函数y=ax²﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D.

(1)、求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）.

(2)、若以AD为直径的圆经过点C.
①求a的值.

②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标.

③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标.

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