浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x \leq 0}$ ， $B = {x | | x | < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、. $(- 3 ， 5]$ B、 $[- 3 ， 5]$ C、 $(- \infty ， 5]$ D、 $[0 ， 3)$

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2. 若复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (x ， 1)$ ，若 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $x$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、5 D、-8

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4. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} + a < 0$ ，那么“ $a \leq 0$ ”是“ $p$ 为真命题”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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5. 已知函数 $y = c o s a x + b (a > 0)$ 的图像如图所示，则函数 $y = l o g_{a} (x + b)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 声强级 $L i$ （单位： $d B$ ）与声强 $I$ （单位： $ω / m^{2}$ ）之间的关系是： $L i = 10 l g \frac{I}{I_{0}}$ ，其中 $I_{0}$ 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为 $1 ω / m^{2}$ ，对应的声强级为 $120 d B$ ，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为 $[60 ， 70]$ （单位： $d B$ ）.下列选项中错误的是（）

A、闻阈的声强级为 $0 d B$ B、此歌唱家唱歌时的声强范围 $[1 0^{- 6} ， 1 0^{- 5}]$ （单位： $ω / m^{2}$ ） C、如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D、声强级增加 $10 d B$ ，则声强变为原来的10倍.

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7. 已知平行四边形 $A B C D$ ，若 $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{A F}$ ，且 $E F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，则 $\frac{A M}{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = m a x {x^{2} ， 3 - 2 | x |}$ ，其中 $m a x {p ， q} = {\begin{array}{l} p ， p \geq q \\ q ， p < q \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a x + \frac{3}{2} (a > 0)$ 有四个不同的实根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{4} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{9}{10} ， - \frac{3}{2})$ B、 $(- \frac{19}{10} ， - \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{9}{10})$ D、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{19}{10})$

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二、多选题

9. 下面关于空间几何体叙述正确的是（）

A、正四棱柱是长方体 B、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C、有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D、直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥

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10. 已知函数 $f (x) = 2 | s i n x | + | c o s x |$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 为周期函数 D、方程 $f (x) = 2$ 在 $[0 ， π]$ 上有三个实根

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11. 下列说法正确的有（）

A、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ 的最小值为2 B、已知 $x > 1$ ，则 $y = 2 x + \frac{4}{x - 1} - 1$ 的最小值为 $4 \sqrt{2} + 1$ C、若正数x，y为实数，若 $x + 2 y = 3 x y$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为3 D、设x，y为实数，若 $9 x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $3 x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$

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12. 设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R ， a > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x) = x$ 有实根，则方程 $f (f (x)) = x$ 有实根 B、若 $f (x) = x$ 无实根，则方程 $f (f (x)) = x$ 无实根 C、若 $f (- \frac{b}{2 a}) < 0$ ，则函数 $y = f (x)$ 与 $y = f (f (x))$ 都恰有 $2$ 个零点 D、若 $f (f (- \frac{b}{2 a})) < 0$ ，则函数 $y = f (x)$ 与 $y = f (f (x))$ 都恰有 $2$ 零点

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三、填空题

13. 求值： ${(\frac{1}{2})}^{- 3} - {(- \frac{4}{5})}^{0} - \frac{4}{3} l g \sqrt{1000} =$ ．

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14. 如下图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 $O^{^{'}} B^{^{'}} = O^{^{'}} C^{^{'}} = 1$ ， $O^{'} A^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么 $△ A B C$ 的周长是．

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15. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = \sqrt{7}$ ， $C D = 4$ ， $B C = \sqrt{3} B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，若 ${\vec{c}}^{2} - 2 \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{a} |$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 求下列各式的值：已知 $s i n (\frac{5 π}{2} - θ) c o s (\frac{7 π}{2} + θ) = \frac{12}{25}$ ，且 $0 < θ < \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $t a n θ$ 的值；

(2)、求 $[c o s (\frac{3 π}{2} + θ) + s i n (θ - \frac{π}{2})] \cdot [s i n (3 π - θ) - 2 c o s (π + θ)]$ 的值.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对得到边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，向量 $\vec{m} = (1 ， 2)$ ， $\vec{n} = (b - c c o s A ， a)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 2 \sqrt{3}$ ，求a-b的取值范围.

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $∠ C A B = 90 °$ .

(1)、求该直三棱柱的表面积 $S$ ；

(2)、若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积.

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20. 用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.每次漂洗都经历放水、漂洗、甩干三个过程.每次漂洗时，衣服的残留物都能均匀溶于水，在甩干时也能被均匀甩出，并且每次甩干后重量（残留物和水分重量总和）不变.假设衣服在洗涤并甩干后，残留物与水分共有 $m$ 千克，其中水分占 $\frac{4}{5}$ .

(1)、求第一次漂洗后剩余残留物 $y$ 与这次漂洗放入水的重量 $x$ 的函数关系式；

(2)、若进行两次漂洗，加入水总重量为 $a$ 千克，求剩余残留物 $y$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + 2 \sqrt{3}$ $s i n x c o s x - c o s^{2} x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = f (\frac{π}{3})$ ， $s i n (\frac{π}{3} - A) c o s (\frac{π}{6} + A) = \frac{1}{4}$ ， $M$ 是 $A B$ 边上一点，且 $M A = 2 M B$ ，求 $△ M B C$ 的最大面积.

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22. 已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 对称，且二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 过点 $(1 ， 0)$ ， $f (0) f (2) > 0$ .

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；

(2)、试判断 $y = g (x)$ 的图象与直线 $y = 2 - a$ 是否有两个不同的交点？若有，请求出两交点间距离的取值范围；若没有，请说明理由.

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