浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. $z = 1 - i$ ， $\bar{z}$ 为其共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}$ 的值为（）

A、0 B、2 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b = 2$ ， $B = 45 °$ ， $c = \sqrt{6}$ ，则角C为（）

A、60° B、150° C、60°或120° D、120°

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3. 棱台不具备的特点是（）

A、两底面相似 B、侧面都是梯形 C、侧棱长都相等 D、侧棱延长后都交于一点

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4. 设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（）

A、 $\begin{matrix} \frac{4 π}{3} \end{matrix}$ B、 $\sqrt{6} π$ C、 $\frac{8 π}{3}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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5. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设有直线m、n和平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题中正确的命题是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ，则 $n / / α$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / β$

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7. 如图所示，已知在 $△ A B C$ 中，O是重心，则 $\vec{A O} =$ （）

A、 $\vec{B C} - \frac{1}{3} \vec{B A}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{B C} - \frac{2}{3} \vec{B A}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{B C} - \frac{1}{3} \vec{B A}$ D、 $\vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{B A}$

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8. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年～前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 $\frac{2}{3}$ (细管长度忽略不计)．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（）

A、2 cm B、 $\frac{4}{3}$ cm C、 $\frac{8}{3}$ cm D、 $\frac{64}{27}$ cm

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9. 点P是正三角形 $△ A B C$ 外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为6，则 $2 \vec{O P} \cdot \vec{O B} + \vec{O P} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 \sqrt{3} ， 4 \sqrt{3}]$ B、 $[- 2 \sqrt{3} ， 4 \sqrt{3}]$ C、 $[- 12 \sqrt{3} ， 12 \sqrt{3}]$ D、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$

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10. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E ， F$ 为 $A A_{1}$ ， AB的中点， $M$ 点是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内的动点，若 $C_{1} M / /$ 平面 $C D_{1} E$ ，则 $M$ 点的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

11. 下列命题正确的有（）

A、复数 $z = 2 - 2 i$ 的虚部是 $- 2 i$ B、复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \in R$ 的一个充要条件是 $z = \bar{z}$ C、若 $(x^{2} - 1) + (x^{2} + 3 x + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $x = \pm 1$ D、关于x的方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数范围内的两个根互为共轭复数

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12. 若向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{b} = (n ， \sqrt{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 同向，则 $n = 1$ B、与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量一定是 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $3 \vec{e}$ （ $\vec{e}$ 是与向量 $\vec{a}$ 同向的单位向量），则 $n = 3$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成角为锐角，则n的取值范围是 $n > - 3$

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13. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点， $S O = O C = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、圆锥SO的侧面积为 $4 \sqrt{2} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ D、若 $A B = B C$ ， E为线段AB上的动点，则 $S E + C E$ 的最小值为 $2 (\sqrt{3} + 1)$

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三、填空题

14. $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C =$

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15. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ．若 $\vec{c} = \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ ，则 $| \vec{c} | =$ ．

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16. $△ A B C$ 中， $A C = 7$ ， $A B = 4$ ， BC边上的中线 $A D = 3.5$ ，则 $B C =$ ．

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17. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{e}$ 满足 $| \vec{e} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e} = 1 ， \vec{b} \cdot \vec{e} = 2 ， | \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为.

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四、解答题

18. 已知复数z满足 $z = 1 + i$ ，复数z的共轭复数为 $\bar{z}$

(1)、求 $\frac{\bar{z}}{z} + z^{4}$

(2)、若复数 $z_{1}$ 满足 $| z_{1} - z | = 1$ ，求 $| z_{1} |$ 的最小值和最大值．

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19. 如图矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 3$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ．

(1)、画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；

(2)、若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．

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20. 甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60º方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30º方向，

(1)、假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．

(2)、若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C / /$ 平面PAD ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，E是PD的中点．

(1)、求证： $B C / / A D$ ；

(2)、线段AD上是否存在点N ，使平面 $C E N / /$ 平面PAB ，若不存在请说明理由；若存在给出证明.

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22. 在① $\frac{s i n A}{s i n B - s i n C} = \frac{b + c}{b - a}$ ；② $\frac{c}{a} = \frac{c o s C + 1}{\sqrt{3} s i n A}$ ；③ $2 S = \sqrt{3} \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为 $△ A B C$ 的面积，若____（填条件序号）

(1)、求角C的大小；

(2)、若边长 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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23. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， P在线段BC上，且 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $Q$ 是边AB（含端点）上动点；

(1)、若 $\vec{A Q} = \frac{2}{5} \vec{A B}$ ，求证：直线CQ经过线段AP的中点O；

(2)、若存在点 $Q$ 使得向量 $\vec{A P} ⊥ \vec{C Q}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ 的取值范围及 $S_{△ A Q C}$ 的最大值．

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