浙江省温州十校联合体2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = (21 + 4 i) \cdot i$ （i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若 $s i n α < 0 ， t a n α < 0$ ，则角 $α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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3. 在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $s i n A > s i n B$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图所示，正方形 $O' A' B' C'$ 的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A、16cm B、 $8 \sqrt{2}$ cm C、8cm D、 $4 + 4 \sqrt{3}$ cm

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5. 如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是（）

A、州 B、十 C、校 D、合

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点N为对角线 $A C$ 上靠近A点的三等分点，连结 $B N$ ，则 $\vec{B N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A B}$

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7. 设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米， $∠ A C B = \frac{5 π}{12} ， ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（）米．

A、 $40 \sqrt{6}$ B、 $40 (1 + \sqrt{3})$ C、 $40 \sqrt{3}$ D、 $40 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

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8. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是平面内的三个单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} |$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2} + 1]$ C、 $[\sqrt{3} - 1 ， \sqrt{3} + 1]$ D、 $[\sqrt{5} - 1 ， \sqrt{5} + 1]$

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9. 在复平面内，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $z_{1} > z_{2}$ ，则一定有 $z_{1} - z_{2} > 0$ B、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则一定有 $z_{1} > z_{2}$ C、若复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，则z为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ D、若复数z满足 $| z | = 2$ ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆

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二、多选题

10. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \pm \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ ∥ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$

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11. 下列叙述错误的是（）

A、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A B_{1} D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 只有一个公共点 B、若三个平面两两相交，则这三个平面可以把空间分成六或七部分 C、若直线l不平行于平面 $α$ ，且 $l ⊄ α$ ，则 $α$ 内的所有直线与l都不平行 D、若直线c和d是异面直线，直线a，b与c，d都相交，则a，b一定是异面直线

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12. 关于函数 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | (x \in R)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递增

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三、填空题

13. 计算 $| \frac{(3 + i) (2 - i)}{1 + i} | =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a ： b ： c = 5 ： 6 ： 8$ ，则 $△ A B C$ 的形状是三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）．

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15. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的长宽高分别为2，3，4，且长方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为．

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16. 已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的最大值是．

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四、解答题

17.
（Ⅰ）在① $z + \bar{z} = 4$ ， ②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m^{2} - 5 m + 6) i$ （i为虚数单位）， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）

（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程： $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ ．

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18. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 2$ ，
（Ⅰ）求 $t a n α$ 的值；
（Ⅱ）求 $s i n^{2} α + 2 s i n α c o s α - c o s^{2} α$ 的值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (4 ， - 3)$

(1)、若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = (1 ， μ)$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为锐角，求 $μ$ 的取值范围.

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面为直角 $△ A B C$ ， $A C ⊥ B C ， A C = 1 ， B C = 2$ ，三棱锥的高 $P C = 3$ ．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；

(2)、求三棱锥 $P - A B C$ 的表面积．

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a c o s B + b c o s A - 2 c c o s A = 0$ ．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $b + 2 c$ 的取值范围．

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22. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3}) ， \vec{b} = (s i n 2 x ， c o s 2 x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．
（Ⅰ）若函数 $y = f (x + m)$ 是偶函数，求 $| m |$ 的最小值；
（Ⅱ）若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{8}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $c o s α$ 的值；
（Ⅲ）求函数 $F (x) = [f (x)]^{2} - n \cdot f (x) + 1$ 在 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值．

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