浙江省衢温“5 1”联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知全集 $U = {3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ，集合 $A = {4 ， 5 ， 6 ， 8}$ ， $B = {5 ， 7 ， 8}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${4 ， 5 ， 6 ， 8}$ B、 ${4 ， 6}$ C、 ${5 ， 8}$ D、 ${3 ， 4 ， 6 ， 7}$

查看试题解析
2. $c o s 12 0^{∘}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
3. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 与 $D D_{1} C_{1} C$ 的中心，直线 $A F$ 与 $D E$ 的位置关系为（）

A、平行 B、相交 C、异面 D、相交或异面

查看试题解析
4. 欧拉公式 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数 $\frac{1}{e^{i \frac{π}{4}}}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
5. 如图是某几何体的三视图，主视图和左视图是底边长和高均为 $2$ 的等腰三角形，俯视图是半径为 $1$ 的圆，则该几何体的侧面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{3}$

查看试题解析
6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0]$ 上是减函数，设 $a = f (2^{- \frac{1}{2}})$ ， $b = f (l o g_{\frac{1}{2}} 4)$ ， $c = f (\sqrt{5})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

查看试题解析
7. 函数 $f (x) = (l n | x |) \cdot s i n x$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n (x + a) (x < 0) \\ c o s (x + b) (x \geq 0) \end{array}$ 是偶函数，则a，b的值可能是（）

A、 $a = \frac{π}{3} ， b = \frac{π}{3}$ B、 $a = \frac{2 π}{3} ， b = \frac{π}{6}$ C、 $a = \frac{π}{3} ， b = \frac{π}{6}$ D、 $a = \frac{2 π}{3} ， b = \frac{5 π}{6}$

查看试题解析

二、多选题

9. 三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

查看试题解析
10. 下列等式正确的有（）

A、 $s i n^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ B、 $s i n (\frac{π}{2} + x) = c o s x$ C、 $c o s (\frac{π}{2} + x) = s i n x$ D、 $s i n α s i n β = - \frac{1}{2} [c o s (α + β) - c o s (α - β)]$

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ 在区间 $[a ， b]$ 上的值域为 $[- 2 ， 2]$ ，则 $b - a$ 的值可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x)$ 满足：存在 $x_{0} > 0$ ，对任意的 $x > 0$ ，恒有 $| f (x) - a | \leq | f (x_{0}) - a |$ ，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = c o s x$ B、 $f (x) = s i n x$ C、 $f (x) = l n x$ D、 $f (x) = e^{x}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

查看试题解析
14. 已知 $x$ 、 $y$ 为两个正实数，且 $\frac{m}{x + y} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，其中 $a = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则 $b =$ ．

查看试题解析
16. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0$ ， $| \vec{c} | = 1$ ， $| \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | m \leq x \leq 2 m + 1} ， B = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若A为非空集合且“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

查看试题解析
18. 已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} s i n x ， c o s x) ， \vec{b} = (c o s x ， c o s x) ， f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当 $f (A) = - \frac{1}{2} ， a = 7 ， b + c = 8$ 时，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
19. 最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为 $a$ （参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）.

(1)、写出该元素的存量 $y$ 与时间 $x$ （年）的关系；

(2)、经检测古生物中该元素现在的存量为 $\frac{2 a}{5}$ ，请推算古生物距今大约多少年？

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = k x + l o g_{2} (4^{x} + 1) (k \in R)$ 是偶函数．

(1)、求k的值；

(2)、若 $f (x) - b > 0$ 对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．

查看试题解析
21. 如图一，在平面几何中，有如下命题“正三角形 $A B C$ 的高为h，O是 $△ A B C$ 内任意一点，则O到三边的距离的和为定值h，当O是 $△ A B C$ 的中心时，O到各边的距离均为 $\frac{h}{3}$ ”．
证明如下：设正三角形 $A B C$ 边长为a，高h，O到三边的距离分别 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$
则： $S_{△ A O B} + S_{△ B O C} + S_{△ C O A} = S_{△ A B C}$ ，即：
$\frac{1}{2} a d_{1} + \frac{1}{2} a d_{2} + \frac{1}{2} a d_{3} = \frac{1}{2} a h$
化简得， $d_{1} + d_{2} + d_{3} = h$
若O是 $△ A B C$ 中心，则 $d_{1} = d_{2} = d_{3} = \frac{1}{3} h$
即：正三角形中心到各边的距离均为 $\frac{h}{3}$
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体 $A B C D$ （图二）相应的命题，并证明你的结论．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| x - 2 a | + 2 a} - x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $a \neq 0$ ，且 $f (2 a x) = - 2 a$ 有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；

(3)、是否存在实数a，使得函数 $f (x)$ 的定义域为R，且在R上具有单调性，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

查看试题解析