浙江省宁波市金兰教育合作组织2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $i (2 - i)$ 的虚部为（）

A、-2 B、2 C、-2i D、2i

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2)$ ，那么向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、夹角是锐角 D、夹角是钝角

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3. 下列说法中正确的个数是（）
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称， $z_{1} = 3 + i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、10 B、-10 C、 $- 9 + i$ D、 $- 9 - i$

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $3 b = 2 \sqrt{3} a \sin B$ ， $\cos A = \cos C$ ，则 $△ A B C$ 形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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6. 若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知 $△ A B C$ 的边 $B C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $Q$ ，交 $A C$ 于 $P$ ，若 $| \overset{⇀}{A B} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 设 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且满足等式 $\sqrt{7} s i n A \cdot \vec{G A} + 3 s i n B \cdot \vec{G B} + 3 \sqrt{7} s i n C \cdot \vec{G C} = 0$ ，则 $∠ B =$ （）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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二、多选题

9. 如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图， $D^{^{'}}$ 为 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点，且 $A^{^{'}} D^{^{'}} / / y^{^{'}}$ 轴， $B^{'} C^{'} / / x^{'}$ 轴，那么在原平面图形 $△ A B C$ 中（）

A、 $A B$ 与 $A C$ 相等 B、 $A D$ 的长度大于 $A C$ 的长度 C、 $A B$ 的长度大于 $A D$ 的长度 D、 $B C$ 的长度大于 $A D$ 的长度

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10. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = - 5$ C、 $2 | \vec{a} | = | \vec{b} |$ D、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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11. $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $s i n^{2} A + s i n^{2} B < s i n^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、若 $a = 8 ， c = 10 ， B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、若 $a c o s B = \sqrt{3} ， b s i n A = 3$ ，则角 $B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$

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12. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为 $V ， A ， B$ 是底面圆周上的两个动点，则（）

A、圆锥的侧面积为 $4 π$ B、圆锥的母线长为2 C、 $△ V A B$ 可能为等腰直角三角形 D、 $△ V A B$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ .若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为；

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15. 设复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} | = 1$ ，且 $z_{1} + z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} |$ = ．

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16. 如图，三个全等的三角形 $△ A B F$ ， $△ B C D$ ， $△ C A E$ 拼成一个等边三角形ABC，且 $△ D E F$ 为等边三角形，若 $E F = 2 A E$ ，则 $t a n ∠ A C E$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知 $m \in C$ ，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 3 + 4 i = 0$ 有实根，求复数 $m$ 的模的最小值．

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18. 已知 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 3 ， (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(3)、若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{B C} = \vec{b}$ ，求△ABC的面积．

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19. 在 $△ A B C$ 中，满足 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， M是 $B C$ 中点．

(1)、若 $| \vec{A B} | = | \vec{A C} |$ ，求向量 $\vec{A B} + 2 \vec{A C}$ 与向量 $2 \vec{A B} + \vec{A C}$ 的夹角的余弦值；

(2)、若O是线段 $A M$ 上任意一点，且 $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = \sqrt{2}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ 的最小值．

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20. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量， $\cos A = \frac{12}{13} ， \cos C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

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21. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 2$ ，由顶点 $B$ 沿棱柱侧面经过棱 $A A_{1}$ 到顶点 $C_{1}$ 的最短路线与 $A A_{1}$ 的交点记为 $M$ ，求：

(1)、三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)、求该最短路线的长及 $\frac{A_{1} M}{A M}$ 的值；

(3)、三棱锥 $C_{1} - A B M$ 体积.

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22. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 14$ ，点 $M$ 在线段 $B C$ 上， $∠ A M C = \frac{π}{3}$ ， $B M = 2 \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $A M$ 的值；

(2)、若 $M C = \sqrt{7}$ ， $∠ A C M = θ$ ，求 $c o s 2 θ$ 的值．

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