浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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2. 在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 在△ABC中，点D在BC边上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A D}$ 可用基底 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示为（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b})$

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4. 若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、2+ $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{2}$

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5. 复数 $2 + i$ 与复数 $\frac{1}{3 + i}$ 在复平面内对应的点分别是 $A$ 、 $B$ ，若 $O$ 为坐标原点，则 $∠ A O B$ 为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6. $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“函数 $f (x) = (x \vec{a} + \vec{b}) \cdot (x \vec{b} - \vec{a})$ 为一次函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且满足： $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ .则 $△ A B M$ 与 $△ A B C$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 在 $△ O A B$ 中， $O A = O B = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P$ 位于直线 $O A$ 上，当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，向量 $\vec{P A}$ 与 $\vec{P B}$ 的夹角余弦值为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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二、多选题

9. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ，$ 若 $A = \frac{π}{6} ， a = 2 ， c = 2 \sqrt{3}$ ，则角C的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10. 已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（）

A、四面体表面积为 $4 \sqrt{3}$ B、四面体的高 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、四面体体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、四面体的内切球半径为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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11. 在 $Δ A B C$ 中，下列命题正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $Δ A B C$ 定为等腰三角形 C、若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，则 $Δ A B C$ 定为直角三角形 D、若三角形的三边的比是 $3 ： 5 ： 7$ ，则此三角形的最大角为钝角

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12. 点O在 $Δ A B C$ 所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A、若 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} = 0$ ，则点O为 $Δ A B C$ 的重心 B、若 $\overset{⇀}{O A} \cdot (\frac{\overset{⇀}{A C}}{| \overset{⇀}{A C} |} - \frac{\overset{⇀}{A B}}{| \overset{⇀}{A B} |}) = \overset{⇀}{O B} \cdot (\frac{\overset{⇀}{B C}}{| \overset{⇀}{B C} |} - \frac{\overset{⇀}{B A}}{| \overset{⇀}{B A} |}) = 0$ ，则点O为 $Δ A B C$ 的垂心 C、若 $(\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}) \cdot \overset{⇀}{A B} = (\overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}) \cdot \overset{⇀}{B C} = 0$ ，则点O为 $Δ A B C$ 的外心 D、若 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{O B} \cdot \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O C} \cdot \overset{⇀}{O A}$ ，则点O为 $Δ A B C$ 的内心

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三、填空题

13. 在复数范围内，方程 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ 的解集为．

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14. 已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{a}$ ＝(1，λ)共线，则λ＝.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $B = 60 °$ ， $a + c = 1$ ，则 $b$ 的取值范围为.

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16. 已知z₁＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z₁|的最大值为．

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四、解答题

17. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1﹕4.母线长为10，求圆锥的母线长.

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18. 已知复数 $z$ 满足|3+4i|+z.=1+3i

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、求 $\frac{{(1 + i)}^{2} (4 + 3 i)}{2 \bar{z}}$ 的值.

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19. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ .

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(3)、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，求 $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 的值.

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20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足 $(\sqrt{2} b - a) \cos C = c \cdot \cos A$

(1)、求角C的大小；

(2)、若a= $4 \sqrt{2}$ ，b= $\sqrt{2}$ c，求△ABC的面积

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21. 已知 $\vec{a} ＝ (\cos α, \sin α) ， \vec{b} = (\cos β, \sin β)$ ， $0 < β < α < π$ .

(1)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c} = (0, 1)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，求 $α$ ， $β$ 的值.

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22. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为 $5 n m i l e$ ，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5} n m i l e$ . $∠ B A D$ 为钝角，且 $s i n A = \frac{3}{5}$ .

(1)、求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

(2)、记 $∠ B D C$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $s i n (2 α + β)$ 的值.

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