浙江省湖州市三贤联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z = 1 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $1$ B、-1 C、 $i$ D、-i

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2. 已知点 $A (0 ， 1) ， B (3 ， 2)$ ，则向量 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(- 3 ， - 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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3. 伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（）

A、 $1 ： 2 ： 3$ B、 $1 ： \sqrt{2} ： \sqrt{3}$ C、 $1 ： \sqrt{2} ： 3$ D、 $2 ： 3 ： 6$

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4. 已知圆锥的表面积等于 $27 π c m^{2}$ ，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（）

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $3 c m$ D、 $\frac{3}{2} c m$

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5. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 $60 °$ ，每只胳膊的拉力大小均为 $400 N$ ，则该学生的体重（单位： $k g$ ）约为（）
（参考数据：取重力加速度大小为 $g ＝ 10 m / s^{2} ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、63 B、69 C、75 D、81

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6. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A = \frac{3}{4} ， c o s B = \frac{\sqrt{3}}{2} ， a = 10$ ，则边长 $b =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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7. 意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达·芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 $A ， C$ 处作圆弧的切线，两条切线交于 $B$ 点，测得如下数据： $A B = 6.9 c m ， B C = 7.1 c m ， A C = 12.6 c m$ ，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12})$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{π}{2})$

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8. 棱长为1的正四面体 $A B C D$ 内有一个内切球 $O ， M$ 为 $C D$ 中点，N为 $B M$ 中点，连接 $A N$ 交球O于 $P ， Q$ 两点，则 $P Q$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{33}}{33}$ B、 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{24}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、三角形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、四边形一定是平面图形

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10. 在复平面内，下列说法正确的是（）

A、 $- i^{2} = - 1$ B、 $(- i)^{2} = - 1$ C、若 $a > b$ ，则 $a + i > b + i$ D、若复数z满足 $z^{2} < 0$ ，则z是虚数

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11. 已知角 $A ， B ， C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，下列结论一定成立的有（）

A、 $s i n (B + C) = s i n A$ B、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $s i n A > s i n B$ ，则 $A > B$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$

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12. 已如非零平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 4 ， \vec{c} = λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b}$ ，其中 $0 ≤ λ ≤ 1$ ，若 $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $| \vec{c} |$ 的值可能为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如， $| z | = | O Z |$ ，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数 $z_{0} = 3 i$ （ $i$ 是虚数单位），其对应的点为 $Z_{0} ， Z$ 为曲线 $| z | = 1$ 上的动点，则 $Z_{0}$ 与Z之间的最小距离为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，点D是边 $B C$ 上的动点，若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y =$ ．

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15. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对 $△ A B C$ 而言，若其内部的点P满足 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120 °$ ，则称P为 $△ A B C$ 的费马点．如图所示，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 45 °$ ，设P为 $△ A B C$ 的费马点，且满足 $∠ P B A = 45 ° ， P A = 2$ ．则 $△ A B C$ 的外接圆直径长为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，记角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，面积为 $S$ ，则 $\frac{S}{b^{2} + 4 a c}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = m (m - 2) + (m - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.若 $z$ 满足下列条件，求实数 $m$ 的值：

(1)、 $z$ 为实数；

(2)、 $z$ 为纯虚数；

(3)、 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = x$ 上.

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18. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B C = 4 ， ∠ D A B = 6 0^{∘}$ ，点E是线段 $B C$ 的中点．
（I）求 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值；
（II）若 $\vec{A F} = \vec{A E} + λ \vec{A D}$ ，且 $\vec{B D} ⊥ \vec{A F}$ ，求 $λ$ 的值．

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19. $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$ ．

(1)、求边 $A B$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} \sin C$ ，求角C的度数．

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20. 如图，一个多面体 $A - B C D E$ 的一个面ABC内接于圆O，AB是圆 $O$ 的直径，四边形 $B C D E$ 是矩形，棱DC、EB均垂直于圆 $O$ 所在的平面， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ E A B = 4 5^{∘}$ ．

(1)、求扇形 $B O C$ 的面积；

(2)、试求该多面体 $A - B C D E$ 的体积．

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21. 如图，某快递小哥从A地出发，沿小路 $A B \to B C$ 以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知 $B D = 10$ （公里）， $∠ D C B = 45 ° ， ∠ C D B = 30 ° ， △ A B D$ 是等腰三角形， $∠ A B D = 120 °$ ．

（I）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？

（Ⅱ）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路 $A D \to D C$ 追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达C处？

（注： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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22. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为60º，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ．
（Ⅰ）求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值；
（Ⅱ）求 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ 的最大值．

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