浙江省杭州市八校联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 平行四边形ABCD中， $\vec{B C} + \vec{B A} - \vec{C D}$ 等于（）

A、 $\vec{C B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{D C}$ D、 $\vec{A C}$

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2. 设 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 是平面直角坐标系内分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向相同的两个单位向量， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O A} = 4 \vec{i} + 2 \vec{j}$ ， $\vec{O B} = 3 i + 4 j$ ，则 $2 \vec{O A} + \vec{O B}$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(7 ， 6)$ C、 $(5 ， 0)$ D、 $(11 ， 8)$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .若 $b c o s C + c c o s B = a s i n A$ ，则角A的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A、直线 $C C_{1}$ 与直线 $B_{1} E$ 是异面直线 B、直线 $C C_{1}$ 与直线AE是共面直线 C、直线AE与直线 $B_{1} C_{1}$ 是异面直线 D、直线AE与直线 $B B_{1}$ 是共面直线

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6. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现.现有一底面半径与高的比值为 $\frac{1}{2}$ 的圆柱，则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为（）

A、4：3 B、3：2 C、2：1 D、8：3

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7. 已知O为 $△ A B C$ 的外心， $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $c o s ∠ A B C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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8. 已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若 $\vec{A P}$ =x $\vec{A B}$ +y $\vec{A C}$ ，则xy的取值范围是（）

A、[ $\frac{1}{9}$ ， $\frac{4}{9}$ ] B、[ $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{4}$ ] C、[ $\frac{2}{9}$ ， $\frac{1}{2}$ ] D、[ $\frac{2}{9}$ ， $\frac{1}{4}$ ]

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{4 + 7 i}{3 + 2 i}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、z的虚部为i B、 $\bar{z} = 2 - i$ C、 $| z | = \sqrt{5}$ D、z在复平面内对应的点位于第四象限

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10. 下列说法中正确的（）

A、已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3} ， + \infty)$ B、向量 $\vec{e_{1}} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2} ， - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $30^{°}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b + c}{s i n B + s i n C}$ D、若 $t a n A + t a n B + t a n C < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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12. 设 $m$ 、 $n$ 表示不同直线， $α$ 、 $β$ 表示不同平面，则下列结论中正确的是（）．

A、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m / / β$ ， $n / / α$ ，则 $α / / β$ C、 $m$ 、 $n$ 是两条异面直线，若 $m / / α$ ， $m / / β$ ， $n / / α$ ， $n / / β$ ．则 $α / / β$ ． D、若 $α / / β$ ， $m / / α$ ， $n / / m$ ， $n ⊄ β$ ，则 $n / / β$

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三、填空题

13. 如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的周长为．

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14. 若复数z满足 $| z - \sqrt{3} + i | = 1$ ，则 $| z |$ （i为虚数单位）的最小值为.

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15. 已知向量 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 5 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 5$ ，且 $\vec{e}$ 是与 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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16. 在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且 $B M / /$ 平面 $A D_{1} C$ ，则动点M的轨迹所形成区域的面积是.

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四、解答题

17. 已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数 $z + \frac{2}{z}$ 为实数.

(1)、求复数z；

(2)、在复平面内，若复数(m＋z)²对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{c} = (λ ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} = m \vec{b} + 3 \vec{c}$ ，求实数 $m$ ， $λ$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{b} + \vec{c}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， F为AC中点．

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $B F C_{1}$ ．

(2)、若此三棱柱为正三梭柱，且 $A_{1} A = \sqrt{2} A_{1} C_{1}$ ，求 $∠ F B C_{1}$ 的大小.

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20. 如图，游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B，在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C．假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为1170米，经测量， $c o s A = \frac{24}{25} ， c o s C = \frac{3}{5}$ .

(1)、求观光车路线AB的长；

(2)、乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短．

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21. 在① $b c = t (b + c)$ ，其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），② $s i n^{2} A - (s i n B - s i n C)^{2} = 3 s i n B s i n C$ ；③ $b = a c o s C - \frac{\sqrt{3}}{3} c s i n A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边外别为a，b，c，____.

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $m = \frac{a + b}{c}$ 的取值范围.

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