浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 2} ， B = {1 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ (C_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1} C、{2} D、 ${1 ， 2}$

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2. “ $a = 1$ ”是“复数 $z = a^{2} - a + (a + 1) i$ （ $a \in R$ ， i是虚数单位）为纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设函数 $f (x) = (a - 1) a^{x} + b (a > 0 ， a \neq 1)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调性（）

A、与a有关，且与b有关 B、与a无关，且与b有关 C、与a有关，且与b无关 D、与a无关，且与b无关

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4. 某圆锥的侧面展开图是面积为4π且圆心角为 $90 °$ 的扇形，则此圆锥的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3} π$ C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $\sqrt{15} π$

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5. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于 $2 k m$ ，灯塔A在观测站C的北偏东 $25 °$ ，灯塔B在观测站C的南偏东 $35 °$ ，则灯塔A与之间B的距离为（）

A、 $2 k m$ B、 $2 \sqrt{2} k m$ C、 $2 \sqrt{3} k m$ D、 $4 k m$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，M、N分别为 $B C$ 、 $A D$ 上的点，且 $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A D}$ ，连接 $A C ， M N$ 交于P点，若 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{4}{13}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{7}{13}$

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7. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b}{2})}^{2}]}$ （其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若 $a = 2$ ，且 $b c o s C - c c o s B = c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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8. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - 2 \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{c} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，原来平行的线段仍然平行． B、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱． C、若复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 分别表示向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则表示向量 $\vec{B A}$ 的复数为 $9 + i$ D、若复数z的模为5，虚部为-4，则复数 $z = 3 - 4 i$ ．

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10. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$ B、若 $m \vec{a} + n \vec{b} = (8 ， 1)$ ，则 $m - 2 n = - 1$ C、 $\vec{a}$ 与 $(\vec{a} - \vec{b})$ 的夹角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ D、若 $(λ \vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ = - 4$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $a = 3 \sqrt{3} ， b = 3 ， B = 30 °$ ，则 $A = 60 °$ C、若 $\frac{c}{b} < c o s A$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $a = \sqrt{3} ， b = 4$ ，且 $2 a b s i n C = \sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $△ A B C$ 的面积为3

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12. 任意两个非零向量和 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，定义： $\vec{m} \otimes \vec{n} = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}}$ ，若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | \geq 2 | \vec{b} | > 0$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，且 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 和 $\vec{b} \otimes \vec{a}$ 都在集合 ${\frac{n}{4} | n \in Z}$ 中，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值可能为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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三、填空题

13. 若一个球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该球的表面积为．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， 3)$ ，点 $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， - 1)$ ，记 $\vec{A^{^{'}} B^{^{'}}}$ 为 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量，若 $\vec{A^{'} B^{'}} = λ \vec{a}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 已知复数z满足 $| z - (1 + i) | = 1$ ，则 $| z + 1 + 2 i |$ 的最大值为．

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16. 已知不等式 $(x^{2} - a x + 1) (l n x - a) \leq 0$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 上恒成立，则实数a的取值范围为．

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17. 已知 $- 1 + 2 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，其中 $i$ 为虚数单位．
（Ⅰ）求 $p ， q$ 的值；
（Ⅱ）记复数 $z = p + q i$ ，求复数 $\frac{z}{1 + i}$ 的模．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以x轴的非负半轴为始边的锐角 $α$ 和钝角 $β$ 的终边与单位圆分别交于点A，B，单位圆与x轴的正半轴交于点M，且 $S_{△ M O B} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ．
（Ⅰ）求 $c o s (\frac{π}{2} - 2 β)$ 的值；
（Ⅱ）求 $\vec{O A} \cdot (\vec{O B} + 2 \vec{O M})$ 的取值范围．

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19. 杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $2 \leq t \leq 20$ ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当 $10 \leq t \leq 20$ 时列车为满载状态，载客量为500人，当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $(10 - t)$ 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 $p (t)$ ．
（Ⅰ）求 $p (t)$ 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

（Ⅱ）若该线路每分钟的净收益为 $Q (t) = \frac{8 p (t) - 2656}{t} - 60$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $c = 1$ ， ____．

(1)、求角B；

(2)、求 $b^{2} - 2 a$ 的取值范围．
注：在条件①向量 $\vec{m} = (2 a - c ， b)$ 与向量 $\vec{n} = (c o s C ， c o s B)$ 共线；
② $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ；
③ $(s i n A - s i n C)^{2} = s i n^{2} B - s i n A s i n C$ 中任选一个，补充到上面问题中，并给出问题解答．（如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 1) | x - a |$
（Ⅰ）若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5}{2}]$ 上的最大值；
（Ⅱ）已知函数 $g (x) = f (x) + | x - a | - x + a - m$ ，若存在实数 $a \in (- 1 ， 2]$ ，使得函数 $g (x)$ 有三个零点，求实数m的取值范围．

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