浙江省北斗联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, m), \overset{⇀}{b} = (3, - 2)$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 6$ C、6 D、8

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3. 已知 $\sin (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (π - 2 θ) =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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4. 方程 $e^{x} + 3 x - 4 = 0$ （其中 $e = 2.71828 ⋯$ ）的根所在的区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2} ， 2)$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）

A、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，有 $A + B > \frac{π}{2}$ ，则 $s i n A > c o s B$ C、若 $a = 8 ， c = 10 ， B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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6. $△ A B C$ 中，点 $M$ 为 $A C$ 上的点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ - μ$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $b = c ， a^{2} = 2 b^{2} (1 - s i n A)$ ，则A=（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天 $(1 \leq t \leq 30 ， t \in N_{+})$ 的旅游人数 $f (t)$ （万人）近似地满足 $f (t) = 4 + \frac{1}{t}$ ，而人均消费 $g (t)$ （元）近似地满足 $g (t) = 120 - | t - 20 |$ ．则求该城市旅游日收益的最小值是（）

A、480 B、120 C、441 D、141

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二、多选题

9. 在水流速度为 $4 \sqrt{3} k m / h$ 的河水中，一艘船以 $12 k m / h$ 的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（）

A、这艘船航行速度的大小为 $12 \sqrt{3} k m / h$ B、这艘船航行速度的大小为 $8 \sqrt{3} k m / h$ C、这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 $150 °$ D、这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 $120 °$

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10. 将函数 $f (x) = 3 \sin (4 x + \frac{π}{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x) = - 3 \sin (8 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $y = g (x)$ 的一条对称轴 D、函数 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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11. 已知 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且 $\vec{A C} = 3 \vec{A D}$ ，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ 的取值可能是（）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、0 D、 $\frac{1}{6}$

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12. 设b、c均为实数，关于x的方程 $x^{2} + b | x | + c = 0$ 在复数集C上给出下列结论，正确的是（）

A、存在b、c，使得该方程仅有2个共轭虚根 B、存在b、c，使得该方程有4个互不相等的实数根 C、存在b、c，使得该方程有5个互不相等的根 D、存在b、c，使得该方程最多有6个互不相等的根

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三、填空题

13. 计算： $0.06 4^{- \frac{1}{3}} - \sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} + l o g_{2} 2^{\sqrt{2}} =$ ；

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14. 中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方1100多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为.

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15. 如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图为边长为1的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则该平面图形的周长为．

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16. 非零平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{b} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = | \vec{b} - \vec{a} |$ ，则 $| \vec{a} |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ ，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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18. 已知复数z满足 $| z | = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为2，

(1)、求复数z；

(2)、若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 $| m - z | = 1$ ，求 $| m |$ 的最大值和最小值．

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19. 设向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x ， \sin x) ， \vec{b} = (\cos x ， \sin x)$ ，

(1)、求函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，求实数m的范围．

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20. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(a + 2 c) c o s B + b c o s A = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - t x + 2 t - 2 ， g (x) = 2 | x - 1 |$ ，函数 $F (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ，其中 $m i n {p ， q} = {\begin{array}{l} p ， & p \leq q \\ q ， & p > q \end{array} .$

(1)、若 $f (x) \geq 2 t - 4$ 恒成立，求实数t的取值范围；

(2)、若 $t \geq 6$ ，
①求使得 $F (x) = f (x)$ 成立的x的取值范围；
②求 $F (x)$ 在区间 $[0 ， 6]$ 上的最大值 $M (t)$ ．

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