云南省保山市隆阳区2020-2021学年高一下学期期中教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法错误的是（）

A、长度为0的向量叫做零向量 B、零向量与任意向量都不平行 C、平行向量就是共线向量 D、长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量

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2. 若角 $α$ 的终边过点 $(2 ， - 5)$ ，则（）

A、 $s i n α = \frac{2}{5}$ B、 $c o s α = - \frac{2}{\sqrt{29}}$ C、 $t a n α = - \frac{5}{2}$ D、 $t a n α = \frac{5}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， m) ， \vec{b} = (n ， 3) ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ ，则 $m + n =$ （）

A、0 B、3 C、1 D、-1

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4. 如图，在 $△ A B D$ 中，C为BD的中点，E为AB上一点，则 $\vec{A B} + \vec{A D} + 2 \vec{C E} =$ （）

A、 $2 \vec{A E}$ B、 $2 \vec{B D}$ C、 $\vec{A E}$ D、 $\vec{B D}$

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5. 与函数 $f (x) = 2 t a n (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ 的图象不相交的一条直线是（）

A、 $x = \frac{π}{2}$ B、 $x = \frac{π}{3}$ C、 $x = \frac{π}{6}$ D、 $x = \frac{5 π}{12}$

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6. 二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令．如图，现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的每个节气对应地球在黄道上运动 $1 5^{∘}$ 所到达的一个位置根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A + c o s A = - \frac{1}{7}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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8. 旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的 $M$ 山峰和 $N$ 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是 $300 m$ ，从 $B$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ A B M = \frac{π}{4}$ ， $N$ 点的仰角 $∠ C B N = \frac{π}{6}$ 以及 $c o s ∠ M B N = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则两座山峰之间的距离 $M N =$ （）

A、 $300 m$ B、 $300 \sqrt{2} m$ C、 $600 m$ D、 $600 \sqrt{2} m$

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9. 已知函数 $f (x) = \tan x + \sqrt{3} \sin x$ ，若对任意 $x \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ ， $f (x) > a$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5 \sqrt{3}}{6}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{5 \sqrt{3}}{6})$ C、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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10. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = (t a n θ) \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $t a n 3 θ =$ （）

A、 $- \frac{8}{15}$ B、 $\frac{18}{17}$ C、 $- \frac{52}{47}$ D、 $\frac{52}{17}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{s i n A}{c o s B} = \frac{\sqrt{3} a}{b} ， | \vec{B C} | = 2 ， \vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A}$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径为R，若 $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$ ，则 $S_{△ B C D} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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12. 已知在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点M，且满足 $\vec{B E} = 4 \vec{E A}$ ， $\vec{A F} = 3 \vec{F D}$ ， $\vec{A M} = 2 λ \vec{A B} - 3 μ \vec{A C}$ ，则 $5 λ - \frac{19}{2} μ =$ （）

A、-3 B、1 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 3 ， A = 60 °$ ，则BC的长为．

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 《列子·汤问》记有古代传说：“渤海之东，不知几亿万里，有大壑焉，实为无底之谷，其下无底，名曰归墟．”现代研究发现海洋蓝洞是海底突然下沉的巨大“深洞”，从海面上看蓝洞呈现出与周边水域不同的深蓝色，我国西沙群岛的“三沙永乐龙洞”为世界最深的海洋蓝洞，深达 $300.89 m$ ．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，且A，B，C，D四点共面，测得 $∠ A D C = 150 ° ， ∠ D C B = 135 ° ， ∠ B D C = ∠ A C D = 15 °$ ， $C D = 80$ ，则A，B两点间的距离为．

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16. 已知 $c o s (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{4}) =$ ； $s i n (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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三、解答题

17. 求值：

(1)、 $c o s (- 660 °) + s i n 390 °$ ；

(2)、 $2 s i n (- \frac{5 π}{2}) - 4 t a n (- \frac{5 π}{4}) + 5 c o s \frac{2 π}{5} \cdot t a n π$ .

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18. 已知向量 $\vec{m} = (2 \sqrt{3} ， - 4) ， \vec{n} = (s i n 2 x ， s i n^{2} x - \frac{1}{4}) ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $x = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的余弦值；

(2)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求 $s i n (x - \frac{π}{6})$ 的值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{2}{3} S_{△ A B C}$ ．

(1)、求 $t a n B$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \sqrt{10}$ ，求 $△ A B C$ 的面积及 $b^{2}$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、写出 $f (x)$ 的解析式．

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，是否存在实数a使得关于x的方程 $f (x) = a$ 有两个不等实根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，E是 $C D$ 的中点，AE交BD于点 $F$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{D F} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $| \vec{A B} | = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求 $c o s ∠ A F B$ .

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22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c ， B = 2 A$ ．

(1)、若 $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $\frac{a + c}{b} = \sqrt{2}$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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