上海市金山区2020-2021学年高一下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-14 类型：期中考试

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一、填空题

1. $c o s \frac{2 π}{3} =$

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2. 在 $[0 ° ， 360 °]$ 内与-60º终边相同的角为

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3. 函数 $y = t a n 2 x$ 的最小正周期为.

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4. 扇形的圆心角为30º，扇形的半径长为2，此扇形的面积为

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5. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 α =$

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6. 化简： $c o s (\frac{π}{2} + α) + s i n (π - α) - s i n (π + α) - s i n (- α)$ =

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7. 函数 $y = \sqrt{- c o s x}$ 的定义域为

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8. 已知 $\frac{3 s i n θ - 2 c o s θ}{s i n θ + 3 c o s θ} = \frac{4}{5}$ ，则 $t a n θ =$

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9. 已知点 $A (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，将 $O A$ 绕坐标原点顺时针旋转 $\frac{π}{2}$ 至 $O B$ ，则 $B$ 的坐标为

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b^{2} + c^{2} = 2 a^{2}$ ，则 $\cos A$ 的最小值为．

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11. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．

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12. 定义函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x ， s i n x \geq c o s x \\ c o s x ， s i n x < c o s x \end{array}$ ，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为 $[- 1 ， 1]$
（2）当且仅当 $x = 2 k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ 时，该函数取得最大值
（3）该函数是以 $π$ 为最小正周期的周期函数
（4）当且仅当 $2 k π + π < x < 2 k π + \frac{3 π}{2} (k \in Z)$ 时， $f (x) < 0$ ．
上述命题中正确的序号是.

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二、单选题

13. 设 $θ \in R ，$ ，则“ $θ = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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14. $△ A B C$ 中，若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ 则该三角形一定是（）

A、等腰三角形但不是直角三角形 B、直角三角形但不是等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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15. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A， $ω$ ， $ϕ$ 均为正的常数）的最小正周期为 $π$ ，当 $x = \frac{2 π}{3}$ 时，函数 $f (x)$ 取得最小值，则下列结论正确的是（）

A、 $f (2) < f (- 2) < f (0)$ B、 $f (0) < f (2) < f (- 2)$ C、 $f (- 2) < f (0) < f (2)$ D、 $f (2) < f (0) < f (- 2)$

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三、解答题

16. 已知点 $P (3 ， 4)$ 是角 $α$ 终边上的点， $c o s β = \frac{5}{13}$ ， $β \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求：

(1)、 $s i n α$

(2)、 $c o s (α - β)$

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17. 求下列各式中角 $x$

(1)、 $2 s i n (x + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

(2)、 $2 s i n^{2} x + 3 c o s x = 0$

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18. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.

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19. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $Δ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边， ${sin}^{2} B = 2 sin A sin C$ ．

(1)、若 $a = b$ ，求 $f (x) = e^{x} (e^{x} - a) - a^{2} x$

(2)、若 $B = 90^{\circ}$ ，且 $a = \sqrt{2} ，$ 求 $Δ A B C$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} \cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上有解,求实数 $m$ 的取值范围.

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