浙教版备考2022中考数学二轮复习训练题1：方程与不等式组

试卷更新日期：2022-03-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若不论 $k$ 取什么实数，关于 $x$ 的方程 $\frac{2 k x + a}{3} - \frac{x - b k}{6} = 1$ （ $a$ 、 $b$ 常数）的解总是 $x = 1$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、 $- 0.5$ B、 $0.5$ C、 $- 1.5$ D、 $1$

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2. 使等式 $| - 2 - x | = | - 2 | + | x |$ 成立的有理数 $x$ 是（）

A、任意一个非负数 B、任意一个非正数 C、小于2的有理数 D、任意一个有理数

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3. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解为 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \end{matrix}$ ，则关于方程组 ${\begin{matrix} a_{1} (x + 1) + 2 b_{1} (y - 1) = 3 c_{1} \\ a_{2} (x + 1) + 2 b_{2} (y - 1) = 3 c_{2} \end{matrix}$ 的解为（）

A、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 7 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 13 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 3 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = 7 \end{matrix}$

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4. 若关于x的方程 $\frac{m - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}$ =0没有增根，则m的值不能是（　　）

A、3 B、2 C、1 D、
−1

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5. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x > m \\ x + 1 \leq 3 m \end{array}$ 有且只有两个整数解，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $1 < m \leq \frac{4}{3}$ B、 $1 \leq m < \frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{3} < m \leq \frac{5}{3}$ D、 $\frac{4}{3} \leq m < \frac{5}{3}$

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6. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{- 2 x + 3 m}{4} \leq 2 x \\ 2 x + 7 \leq 4 (x + 1) \end{array}$ 的解集为 $x \geq \frac{3}{2}$ ，且关于y的方程 $3 y - 2 = \frac{2 m - (5 - 3 y)}{2}$ 的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）

A、2 B、7 C、11 D、10

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7. 已知x=m是一元二次方程x²+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、4 C、 $- \frac{15}{4}$ D、 $- \frac{13}{4}$

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8. 如果关于x的分式方程 $\frac{x - a}{x - 2}$ ＝1+ $\frac{5 - 2 x}{x - 2}$ 有正整数解，且关于y的一元一次不等式组 ${\begin{cases} \frac{3 y - 3}{4} > y - 2 \\ y - a \leq 0 \end{cases}$ 的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（）

A、8 B、7 C、3 D、2

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9. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于 $y$ 的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ${(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2$ ；③ $- 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1$ ，其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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10. 对于一个函数，自变量x取c时，函数值 $y$ 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 $y = - x^{2} - 10 x + m$ $(m \neq 0)$ 有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，关于x的方程 $x^{2} + 10 x - m - 2 = 0$ 有两个不相等的非零实数根 $x_{3} ， x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ，则下列关系式一定正确的是（）

A、 $0 < \frac{x_{1}}{x_{3}} < 1$ B、 $\frac{x_{1}}{x_{3}} > 1$ C、 $0 < \frac{x_{2}}{x_{4}} < 1$ D、 $\frac{x_{2}}{x_{4}} > 1$

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二、填空题

11. 已知关于x的方程x+2﹣ $\frac{1}{2021}$ x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+23﹣ $\frac{1}{2021}$ （y+21）＝m的解是y＝．

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12. 已知x为实数，且满足（2x²+3）²+2（2x²+3）﹣15＝0，则2x²+3的值为．

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13. 如果 $α ， β$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的两个根，则 $α^{2} + 4 α + β + 2019$ 的值是.

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14. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + m = p^{2}$ ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为.

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15. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} < 7 - x \\ \frac{x - 1}{4} \geq \frac{a}{2} \end{array}$ 有解，且关于y的分式方程 $\frac{y - a}{1 - y} + \frac{7}{y - 1} = 1$ 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为.

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16. 已知关于x的方程|x|（x﹣1）＝k恰有三个不同的实数根，则实数k的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

(1)、如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)、如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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四、综合题

18. 阅读材料：
关于x的方程： $x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c}$ 的解是 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = \frac{1}{c}$ ；

$x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c}$ （即 $x + \frac{- 1}{x} = c + \frac{- 1}{c}$ ）的解是 $x_{1} = c$ $x_{2} = - \frac{1}{c}$ ；

$x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c}$ 的解是 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = \frac{2}{c}$ ；

$x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c}$ 的解是 $x_{1} = c$ ， $x_{2} = \frac{3}{c}$ ；……

(1)、请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 $x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c} (m \neq 0)$ 与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证。

(2)、由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程： $x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$ 。

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19. 已知关于x的方程 $\frac{m}{x + 3} - \frac{1}{3 - x} = \frac{m + 4}{x^{2} - 9}$ ．

(1)、若m＝﹣3，解这个分式方程；

(2)、若原分式方程无解，求m的值．

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20. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．

(1)、已知一元一次方程 $3 x + 2 = 2 (x + 2) - 1$ ①与分式方程 $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^{2} - 1} = 1$ ②：方程①有“暖根”吗？填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？填（是或不是）

(2)、已知关于x，y二元一次方程： $y = 4 m x + 6$ 和 $y = x + n$ （其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；

(3)、已知关于x的方程： $2 x - k = k x - 1$ 和 $\frac{1}{x + 1} = \frac{k}{x}$ （其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．

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21. 阅读理解：
材料一：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
材料二：已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，根据材料一得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ .
解决问题：

(1)、已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} - 2 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} - 2 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $s^{2} t + s t^{2}$ 的值；

(2)、已知实数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 3 q + 1$ ，且 $p \neq 2 q$ ，求 $p^{2} + 4 q^{2}$ 的值.

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22. 如果方程x²+px+q＝0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足G＝ $\frac{p^{2}}{q}$ ，例如x²﹣7x+12＝0有整数解3和4，所以x²﹣7x+12＝0属于同族方程，所以G＝ $\frac{{(- 7)}^{2}}{12}$ ＝ $\frac{49}{12}$ ．

(1)、如果同族方程x²+px+q＝0中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有G＝4；

(2)、关于x的一元二次方程kx²﹣（k﹣3）x﹣3＝0属于同族方程，求整数k的值．

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23. 对于 $x ， y$ 定义一种新运算 $T$ ，规定： $T (x ， y) = a x + 2 b y - 1$ （其中 $a, b$ 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
$T (2, 1) = 2 a + 2 b - 1$

(1)、已知 $T (1, 1) = 3, T (2, - 1) = 1$
①求 $a, b$ 的值；

②若关于 $m$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} T (3 m, 2 - m) < 4 \\ T (m, m + 2) > k \end{array}$ 恰好有三个整数解，求实数 $k$ 的取值范围.

(2)、若 $T (x, y) = T (y, x)$ 对于任意不相等的实数 $x, y$ 都成立，求 $a$ 与 $b$ 满足的关系式.

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24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 $y = \frac{1}{a} x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ （ $a \neq 0$ ，且a为常数）的图象记为G．

(1)、当点O在图象G上时，求a的值．

(2)、当图象G的对称轴与直线 $x = - 2$ 之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线 $x = - 2$ 与对称轴不重合），求a的取值范围．

(3)、当图象G的 $x \geq 4 a$ 部分的图象的最低点到x轴的距离是 $x < 2 a$ 部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值．

(4)、以点 $A (0 ， - 1)$ 为对称中心，以 $| 4 a |$ 为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为 $| a |$ ，直接写出a的值．

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