2021-2022学年浙教版数学七下4.3 用乘法公式分解因式同步练习

试卷更新日期：2022-03-10 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列因式分解正确的是（　　）

A、2x²﹣2＝2（x+1）（x﹣1） B、x²+2x﹣1＝（x﹣1）² C、x²﹣1＝（x﹣1）² D、x²﹣x+2＝x（x﹣1）+2

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2. 已知 $9 x^{2} + k x y + 4 y^{2}$ 是一个完全平方式，那么k的值是（）

A、12 B、24 C、±12 D、±24

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3. 把 $a^{3} - 4 a^{2}$ 分解因式，正确的是（）

A、 $a (a^{2} - 4 a)$ B、 $a^{2} (a - 4)$ C、 $a (a + 2) (a - 2)$ D、 $a^{2} (a + 4)$

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4. 设 $n$ 是任意正整数，代入 $n^{3} - n = n \cdot (n^{2} - 1) =$ $(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$ 中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（）

A、388947 B、388944 C、388953 D、388949

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5. 给多项式 $x^{2} + 1$ 再增添一项，使其成为一个完全平方式，则下列式子中可添的有（）
① $- 2 x$ ；②2x；③-1；④-x²；⑤ $\frac{1}{4} x^{4}$

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 将下列多项式分解因式，结果中不含有因式 $a + 1$ 的是（）

A、 $a^{2} - 1$ B、 $a^{2} + a$ C、 $a^{2} - 2 a + 1$ D、 ${(a + 2)}^{2} - 2 (a + 2) + 1$

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7. 若 $x + y + 3 = 0$ ，则 $x (x + 4 y) - y (2 x - y)$ 的值为（）

A、3 B、9 C、6 D、-9

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8. 若 $x^{2} + 2 (m - 1) x + 16$ 是完全平方式，则m的值为（）

A、±8 B、 $- 3$ 或 $5$ C、 $- 3$ D、 $5$

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9. 已知x²+kxy+16y²是一个完全平方式，则k的值是（）

A、4 B、±4 C、8 D、±8

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10. 若m²+6m+p²是完全平方式，则p的值是（）

A、3 B、﹣3 C、±3 D、9

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二、填空题

11. 因式分解：x-4xy²=.

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12. 因式分解：－ $\frac{1}{2}$ x $^{2}$ +xy－ $\frac{1}{2}$ y $^{2}$ =.

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13. 分解因式： $x^{2} + 4 x - 21 =$ ．

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14. 计算： $\frac{202211 2^{2}}{202211 1^{2} + 202211 3^{2} - 2} =$ ．

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15. 分解因式：a³-2a²b+ab²=.

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16. 把多项式a³﹣9ab²分解因式的结果是．

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三、解答题

17.
（Ⅰ）先化简，再求值： $[(2 a + b)^{2} + (b + 2 a) (b - 2 a) - 2 b (a + 2 b)] \div 2 b$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = \frac{1}{3}$ ；
（Ⅱ）分解因式：① $x^{3} - 9 x$ ；② $6 x y^{2} - 9 x^{2} y - y^{3}$ ．

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18. 已知9x²-18（2-k）x+18（6-k）是关于x的完全平方式，求常数k的值.

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19. 分解因式： ${(4 a + b)}^{2} - 4 {(a + b)}^{2}$

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20. 第一环节：自主阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x²-4y²+2x-4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：

x²-4y²+2x-4y

=(x²-4y²)+(2x-4y) ……分组

=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式

=(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式

这种分解因式的方法叫分组分解法。

第二环节：利用这种方法解决下列问题。

因式分解：x²y-4y-2x²+8．

第三环节：拓展运用。

已知a，b，c为△ABC的三边，且b²+2ab=c²+2ac，试判断△ABC的形状．

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21. 阅读理解：
对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ ，能直接用公式法进行因式分解，得到 $x^{2} + 2 a x + a^{2} = {(x + a)}^{2}$ ，但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$ ，就不能直接用公式法了.

我们可以求用这样的方法：在二次三项式 $x^{2} +$ $2 a x - 8 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使其成为完全平方式，再减去 $a^{2}$ 这项，使整个式了的值不变，于是：

$x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$

$= x^{2} + 2 a x - 8 a^{2} + a^{2} - a^{2}$

$= x^{2} + 2 a x + a^{2} - 8 a^{2} - a^{2}$

$= (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - (8 a^{2} + a^{2})$

$= {(x + a)}^{2} - 9 a^{2}$

$= (x + a + 3 a) (x + a - 3 a)$

$= (x + 4 a) (x - 2 a)$

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.

(1)、问题解决：请用上述方法将二次三项式x²＋2ax—3a²分解因式；

(2)、拓展应用：二次三项式x²-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.

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22. 下面是某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x²﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y²+8y+16（第二步）＝（y+4）²（第三步）＝（x²﹣4x+4）²（第四步）

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.

A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式.

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式（x²+2x）（x²+2x+2）+1进行因式分解.

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23. 阅读并解决问题：对于二次三项式 $x^{2} + 4 x - 12$ ，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在 $x^{2} + 4 x - 12$ 中先加上一项4，使它与 $x^{2} + 4 x$ 的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有： $x^{2} + 4 x - 12 = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 - 12 = {(x + 2)}^{2} - 4^{2} = (x + 6) (x - 2)$ .像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.

(1)、利用“配方法”分解因式： $x^{2} - 6 x + 5$ .

(2)、同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值.因为不论x取何值， ${(x + 2)}^{2} \geq 0$ ，所以当 $x = - 2$ 时，多项式 $x^{2} + 4 x - 12$ 有最小值为-16.
试确定：多项式 $- x^{2} + 2 x + 16$ 有最值（填大或小）为.

(3)、已知x是实数，试比较 $x^{2} - 4 x + 5$ 与 $- x^{2} + 4 x - 4$ 的大小，说明理由.

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