辽宁省鞍山市铁西区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列各式不是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a^{2} + 1}$ B、 $\sqrt{2 x + 1}$ C、 $\frac{\sqrt{2 b}}{4}$ D、 $\sqrt{0.1 y}$

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2. 能使等式 $\sqrt{\frac{x}{x - 2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ 且 $x \neq 2$ B、 $x \geq 0$ C、 $x > 2$ D、 $x \geq 2$

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3. $- 2 \sqrt{3}$ 和 $- 3 \sqrt{2}$ 的大小关系是（）

A、 $- 2 \sqrt{3} > - 3 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{3} < - 3 \sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{3} = - 3 \sqrt{2}$ D、不能确定

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4. 关于变量x，y有如下关系：① $x - y = 6$ ；② $y^{2} = 4 x$ ；③ $y = 2 | x |$ ；④ $y = \frac{3}{x}$ ．其中y是x函数的是（）

A、①③ B、①②③④ C、①③④ D、①②③

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5. 下列为勾股数的是（）

A、2，3，4 B、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$ C、6，7，8 D、5，12，13

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6. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 的一边 $B C$ 延长至点E，若 $∠ A = 115 °$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、115° B、75° C、65° D、55°

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7. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为（）

A、6 B、8 C、10 D、14

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8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（）

A、1 B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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二、填空题

9. 已知平面直角坐标系中，点 $P (m - 2 ， 4)$ 到坐标原点距离为5，则m的值为．

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10. 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (1 ， 3)$ ，若以A、B、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则所有符合条件的点C的坐标有个．

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12. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ， $B D = 4$ .则 $A E$ 的长为.

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13. 在实数范围内分解因式： $4 x^{2} - 12 =$ ．

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14. 已知正比例函数 $y = (3 m - 1) x$ 的图象经过点 $(a ， b)$ ，且 $a b < 0$ ，那么m的取值范围是．

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15. 在同一坐标系中，如图所示，一次函数 $y = k_{1} x$ ， $y = k_{2} x$ ， $y = k_{3} x$ ， $y = k_{4} x$ 的图象分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ ，则 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ 的大小关系是（用“<”连接）．

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16. 如图，点A的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，点B在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上运动．当线段 $A B$ 最短时，点B的坐标为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\frac{2}{y} \sqrt{x y^{5}} (- \frac{3}{2} \sqrt{x^{3} y}) \div 3 \sqrt{\frac{y}{x}}$

(2)、 $\sqrt{75} - \sqrt{27} \div \sqrt{2 \frac{1}{4}} + (3 - \sqrt{3}) (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$

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18. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经过C地沿折线 $A C B$ 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 $A B$ 行驶．已知 $A C = 20$ 千米， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.01， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

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19. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ ；

…

请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题

(1)、猜想： $\sqrt{1 + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}}}$ ＝＝；

(2)、归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n(n为正整数)表示的等式：；

(3)、应用：计算 $\sqrt{\frac{82}{81} + \frac{1}{100}}$ ．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $∠ B A C = ∠ D C A$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为平行四边形.

(2)、若 $A C = 4$ ， $C D = 5$ ， $A C ⊥ B C$ ，求 $B D$ 的长.

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21. 已知 $m = 2 - \sqrt{3}$ ，求 $\frac{1 - 2 m + m^{2}}{m - 1} - \frac{\sqrt{m^{2} - 2 m + 1}}{m^{2} - m}$ 的值．

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22. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = 20$ ， $B C = 12$ ．

(1)、直接写出 $A B$ 的长度．

(2)、设点P在 $A B$ 上，若 $∠ P A C = ∠ P C A$ ．求 $A P$ 的长；

(3)、设点M在 $A C$ 上．若 $△ M B C$ 为等腰三角形，直接写出 $A M$ 的长．

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23. 已知 $y - 1$ 与 $x + 3$ 成正比例，且当 $x = 2$ 时， $y = 11$ ．

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，求y的值．

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24.
已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．
求证：DE=DF．

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25. 某快递公司派甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发 $0.5 h$ 后乙开始出发，结果比甲早1（h）到达B地．甲、乙两车离A地的距离S（ $k m$ ）与时间t（h）的关系如图所示，其中a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：

(1)、线段 $O P$ 表示车离A地的距离， $M N$ 表示车离A地的距离（填“甲”或“乙”）

(2)、分别计算甲、乙两车的速度及a的值；

(3)、乙车到达B地后以原速立即返回，请回答：甲车到达B地后以的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地，并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S（ $k m$ ）与时间t（h）的函数图象．

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