云南省昭通市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 下列有关二次根式的运算，其中正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$

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3. 下列关于四边形的说法中，正确的是（）

A、一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D、一组对角相等的四边形是平行四边形

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4. 如图，公路 $A C$ ， $B C$ 互相垂直，公路 $A B$ 的中点M与点C被湖隔开，若测得 $A B$ 的长为 $5 k m$ ，则M，C两点间的距离为（）

A、 $2 k m$ B、 $2.5 k m$ C、 $3 k m$ D、 $4 k m$

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5. 在 $R t △ A B C$ 中，若 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{7}$

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $25 °$

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7. 下列选项中不能判定 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 2 ： 5 ： 7$ B、 $A B = \sqrt{5}$ ， $C B = \sqrt{13}$ ， $A C = \sqrt{12}$ C、 $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A C = \sqrt{5}$ D、 $A B ： B C ： A C = 1 ： 1 ： \sqrt{2}$

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点M在 $A D$ 上， $A M = 4$ ，点P为对角线 $B D$ 上一动点连接 $P A$ ， $P M$ ，则 $P A + P M$ 的最小值为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、5

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二、填空题

9. 在▱ABCD中，∠A=70°，则∠C=度．

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10. $\sqrt{{(3 - π)}^{2}} =$ ．

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点O， $∠ A O B = 60 °$ ， $A B = 6$ ，则 $B D$ 的长为．

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12. 若 $\frac{\sqrt{x + 3}}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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13. 云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为米．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 15$ ， $A C = 20$ ， $B C$ 边上的高 $A D = 12$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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三、解答题

15. 计算： $\sqrt{12} \div \sqrt{\frac{1}{2}} + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \times \sqrt{2}$ ．

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16. 先化简，再求值： $\frac{1}{m + 1} \div \frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 2 m + 1}$ ，其中 $m = \sqrt{5} + 1$ ．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 90 °$ ， $A B = B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = 6$ ， $C D = 8$ ．求四边形 $A B C D$ 的面积．

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18. 如图，D，E分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的中点，延长 $C B$ 至点F，使 $B F = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $D F$ ， $B E$ ．求证：四边形 $D F B E$ 是平行四边形．

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19. 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F，求证：四边形ABEF是正方形．

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20. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ 这样的式子其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ．
以上这种将分母中含有的根号化去的过程叫做分母有理化其中 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 分别称为 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2} + 1$ 的有理数化因式．

(1)、请将式子 $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ 化简．

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}}$ ．

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21. 已知：在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，点E，F分别是对角线 $B D$ 上两点，且 $B E = D F$ ．

(1)、求证： $∠ A F D = ∠ C E B$ ．

(2)、若 $O A = O E$ ，求证：四边形 $A E C F$ 是矩形．

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22. 如图在平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $A D$ ， $C D$ 上， $C F = A E$ ，连接 $B F$ ， $B E$ ， $∠ A B E = ∠ C B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(2)、若点E，F分别是 $A D$ ， $C D$ 的中点，连接 $E F$ ，且 $E F = 4$ ， $A D = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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23. 已知四边形 $A B C D$ 是正方形．

(1)、如图1所示，点O是正方形对角线的交点，连接 $O B$ ， $O C$ ，若 $A B = 4$ ，求 $O B$ 的长．

(2)、如图2所示，当点O是 $B C$ 上一点， $O C^{'} ⊥ B C$ ，连接 $B C^{'}$ ， $C^{'} D$ ，点M是 $C^{'} D$ 的中点，连接 $O M$ ， $C M$ ，求证： $C M = O M$ ．

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