山东省青岛市2021年中考数学真题

试卷更新日期：2022-03-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各数为负分数的是（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图所示的几何体，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫.5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（）

A、 $5575 \times 1 0^{4}$ B、 $55.75 \times 1 0^{5}$ C、 $5.575 \times 1 0^{7}$ D、 $0.5575 \times 1 0^{8}$

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5. 如图，将线段 $A B$ 先绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ ，再向下平移4个单位，得到线段 $A' B'$ ，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， - 6)$ B、 $(- 1 ， 6)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $A$ 是 $\overset{⌢}{E C}$ 的中点，过点 $A$ 画 $⊙ O$ 的切线，交 $B C$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $E C$ ．若 $∠ A D B = 58.5 °$ ，则 $∠ A C E$ 的度数为（）

A、 $29.5 °$ B、 $31.5 °$ C、 $58.5 °$ D、 $63 °$

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7. 如图，在四边形纸片 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B = 10$ ， $∠ B = 60 °$ ．将纸片折叠，使点 $B$ 落在 $A D$ 边上的点 $G$ 处，折痕为 $E F$ ．若 $∠ B F E = 45 °$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、5 B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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8. 已知反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = c x + a$ 和二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 计算： $(\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}) \times \sqrt{2} =$ ．

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10. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是．

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11. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间 $t (h)$ 与行驶的平均速度 $v (k m / h)$ 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 $2.5 h$ 内到达，则速度至少需要提高到 $k m / h$ ．

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12. 已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为 $S_{甲}^{2}$ 、 $S_{乙}^{2}$ ，则 $S_{甲}^{2}$ $S_{乙}^{2}$ ．（填“ $>$ ”、“ $=$ ”、“ $<$ ”）

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $P A$ ， $P D$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ 和点 $D$ ， $P D$ 的延长线与 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ．已知 $A B = 2$ ，则图中阴影部分的面积为．

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14. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为3， $E$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A E$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ A F$ ，交 $A F$ 于点 $H$ ，交 $B F$ 于点 $G$ ， $N$ 为 $E F$ 的中点， $M$ 为 $B D$ 上一动点，分别连接 $M C$ ， $M N$ ．若 $\frac{S_{△ D C G}}{S_{△ F C E}} = \frac{1}{4}$ ，则 $M N + M C$ 的最小值为．

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三、解答题

15. 已知： $∠ O$ 及其一边上的两点 $A$ ， $B$ ．
求作： $R t △ A B C$ ，使 $∠ C = 90 °$ ，且点 $C$ 在 $∠ O$ 内部， $∠ B A C = ∠ O$ ．

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16.

(1)、计算： $(x + \frac{2 x + 1}{x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 1 - 2 x \leq 3 \\ \frac{3 x - 2}{4} < 1 \end{array}$ ，并写出它的整数解．

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17. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

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18. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 $B C$ 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡 $D E$ 的长是20米，坡角为 $37 °$ ，斜坡 $D E$ 底部 $D$ 与大楼底端 $C$ 的距离 $C D$ 为74米，与地面 $C D$ 垂直的路灯 $A E$ 的高度是3米，从楼顶 $B$ 测得路灯 $A E$ 项端 $A$ 处的俯角是 $42.6 °$ ．试求大楼 $B C$ 的高度．
（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 42.6 ° \approx \frac{17}{25}$ ， $c o s 42.6 ° \approx \frac{34}{45}$ ， $t a n 42.6 ° \approx \frac{9}{10}$ ）

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19. 在中国共产党成立一百周年之际，某校举行了以“童心向党”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取 $n$ 名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图．其中“ $90 \leq x \leq 100$ ”这组的数据如下：
90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
$60 \leq x < 70$
8
65
2
$70 \leq x < 80$
$a$
75
3
$80 \leq x < 90$
$b$
88
4
$90 \leq x \leq 100$
10
95
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ；

(2)、“ $90 \leq x \leq 100$ ”这组数据的众数是分；

(3)、随机抽取的这 $n$ 名学生竞赛成绩的平均分是分；

(4)、若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．

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20. 某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 $\frac{4}{5}$ ．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．

(1)、求两种品牌洗衣液的进价；

(2)、若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边的中点，连接 $B E$ 并延长，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $E D$ 至点 $G$ ，使 $D G = D E$ ，分别连接 $A E$ ， $A G$ ， $F G$ ．

(1)、求证： $△ B C E ≅ △ F D E$ ；

(2)、当 $B F$ 平分 $∠ A B C$ 时，四边形 $A E F G$ 是什么特殊四边形？请说明理由．

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22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度 $y_{1}$ （米）与小钢球运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 $y_{2}$ （米）与它的运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

(1)、直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求出 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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23. 问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

①如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为 $(1 ， 1 ， 1)$ ，有1个，所以总共有 $1 \times 1 = 1$ 个整数边三角形．

表①

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
1	1	$(1 ， 1 ， 1)$	1	1个1	$1 \times 1$

②如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为 $(2 ， 1 ， 2)$ ，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为 $(2 ， 2 ， 2)$ ，有1个，所以总共有 $1 + 1 = 1 \times 2 = 2$ 个整数边三角形．

表②

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
2	1	$(2 ， 1 ， 2)$	1	2个1	$1 \times 2$
2	2	$(2 ， 2 ， 2)$	1	2个1	$1 \times 2$

③下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：

表③

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
3	1	$(3 ， 1 ， 3)$	1	2个2	$2 \times 2$
	2	$(3 ， 2 ， 2)$ ， $(3 ， 2 ， 3)$	2
	3	$(3 ， 3 ， 3)$	1

④下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
4	1	$(4 ， 1 ， 4)$	1	3个2	$2 \times 3$
	2	$(4 ， 2 ， 3)$ ， $(4 ， 2 ， 4)$	2
	3	$(4 ， 3 ， 3)$ ， $(4 ， 3 ， 4)$	2
	4	$(4 ， 4 ， 4)$	1

(1)、请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：

表⑤

最长边长	最短边长	（最长边长，最短边长，第三边长）	整数边三角形个数	计算方法	算式
5	1	$(5 ， 1 ， 5)$	1	.......	.......
	2	$(5 ， 2 ， 4)$ ， $(5 ， 2 ， 5)$	2
	3	......	......
	4	$(5 ， 4 ， 4)$ ， $(5 ， 4 ， 5)$	2
	5	$(5 ， 5 ， 5)$	1

(2)、问题解决：

最长边长为6的整数边三角形有个．

(3)、在整数边三角形中，设最长边长为

n

，总结上述探究过程，当

n

为奇数或

n

为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为

n

的整数边三角形的个数．

(4)、最长边长为128的整数边三角形有个．

(5)、拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个．

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24. 已知：如图，在矩形 $A B C D$ 和等腰 $R t △ A D E$ 中， $A B = 8 c m$ ， $A D = A E = 6 c m$ ， $∠ D A E = 90 °$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B A$ 方向匀速运动．速度为 $1 c m / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $D B$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ．过点 $Q$ 作 $Q M / / B E$ ，交 $A D$ 于点 $H$ ，交 $D E$ 于点 $M$ ，过点 $Q$ 作 $Q N / / B C$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ．分别连接 $P Q$ ， $P M$ ，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 8)$ ．
解答下列问题：

(1)、当 $P Q ⊥ B D$ 时，求 $t$ 的值；

(2)、设五边形 $P M D N Q$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

(3)、当 $P Q = P M$ 时，求 $t$ 的值；

(4)、若 $P M$ 与 $A D$ 相交于点 $W$ ，分别连接 $Q W$ 和 $E W$ ．在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $∠ A W E = ∠ Q W D$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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组别	竞赛成绩分组	频数	平均分
1	$60 \leq x < 70$	8	65
2	$70 \leq x < 80$	$a$	75
3	$80 \leq x < 90$	$b$	88
4	$90 \leq x \leq 100$	10	95