山东省济南市2021年中考数学试题

试卷更新日期：2022-03-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 9的算术平方根是（）

A、 ﹣3 B、±3 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约 $55000000 km$ ．将数字55000000用科学记数法表示为（）

A、 $0.55 \times 10^{8}$ B、 $5.5 \times 10^{7}$ C、 $5.5 \times 10^{6}$ D、 $55 \times 10^{6}$

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4. 如图， $A B / / C D$ ， $∠ A = 30 °$ ， $D A$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $∠ D E B$ 的度数为（）

A、45° B、60° C、75° D、80°

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5. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $- a > b$ C、 $a - b < 0$ D、 $- b < a$

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7. 计算 $\frac{m^{2}}{m - 1} - \frac{2 m - 1}{m - 1}$ 的结果是（）

A、 $m + 1$ B、 $m - 1$ C、 $m - 2$ D、 $- m - 2$

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8. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数 $y = k x - k$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 $135 m$ 的 $A$ 处测得试验田右侧出界 $N$ 处俯角为 $43 °$ ，无人机垂直下降 $40 m$ 至 $B$ 处，又测得试验田左侧边界 $M$ 处俯角为 $35 °$ ，则 $M$ ， $N$ 之间的距离为（参考数据： $t a n 43 ° \approx 0.9$ ， $s i n 43 ° \approx 0.7$ ， $c o s 35 ° \approx 0.8$ ， $t a n 35 ° \approx 0.7$ ，结果保留整数）（）

A、 $188 m$ B、 $269 m$ C、 $286 m$ D、 $312 m$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以AB的长为半径作弧交 $A C$ 于点D，连接BD，再分别以点 $B$ ， D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（）

A、 $B E = D E$ B、 $D E$ 垂直平分线段 $A C$ C、 $\frac{S_{△ E D C}}{S_{△ A B C}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $B D^{2} = B C \cdot B E$

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12. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (m ， n)$ 和点 $P' (m ， n')$ ，若满足 $m \geq 0$ 时， $n' = n - 4$ ； $m < 0$ 时， $n' = - n$ ，则称点 $P' (m ， n')$ 是点 $P (m ， n)$ 的限变点．例如：点 $P_{1} (2 ， 5)$ 的限变点是 $P_{1}^{'} (2 ， 1)$ ，点 $P_{2} (- 2 ， 3)$ 的限变点是 $P_{2}^{'} (- 2 ， - 3)$ ．若点 $P (m ， n)$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 2$ 的图象上，则当 $- 1 ≤ m ≤ 3$ 时，其限变点 $P'$ 的纵坐标 $n'$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq n' \leq 2$ B、 $1 \leq n' \leq 3$ C、 $1 \leq n' \leq 2$ D、 $- 2 \leq n' \leq 3$

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二、填空题

13. 因式分解： $a^{2} - 9 =$ ．

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14. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是.

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15. 如图，正方形 $A M N P$ 的边 $A M$ 在正五边形 $A B C D E$ 的边 $A B$ 上，则 $∠ P A E =$ $°$ ．

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16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x - a = 0$ 的一个根是2，则另一个根是．

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17. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代入民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位

h (c m)

是时间

t (m i n)

的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个

h

的值记录不符合题意，请排除后利用正确的数据确定当

h

为

8 c m

时，对应的时间

t

为min．

$t (m i n)$	…	1	2	3	5	…
$h (c m)$	…	2.4	2.8	3.4	4	…

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18. 如图，一个由8个正方形组成的“ $C$ ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 $M$ ， $N$ ， $O$ ， $P$ ， $Q$ 都在矩形 $A B C D$ 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边 $A B$ 的长为．

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三、解答题

19. 计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} + (π - 1)^{0} + | - 3 | - 2 t a n 45 °$ ．

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) \geq 2 x - 5 ， ① \\ 2 x < \frac{x + 3}{2} ， ② \end{array}$ 并写出它的所有整数解．

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $A B$ 、 $C B$ 上，且 $∠ A D M = ∠ C D N$ ，求证： $B M = B N$ ．

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22. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在 $5 \leq x < 15$ 范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别
使用数量（双）
频数
A
$0 ≤ x < 5$
14
B
$5 \leq x < 10$
C
$10 \leq x < 15$
D
$15 \leq x < 20$
$a$
E
$x ≥ 20$
10
合
50
请结合以上信息回答下列问题：

(1)、统计表中的 $a =$ ；

(2)、统计图中 $E$ 组对应扇形的圆心角为度；

(3)、 $C$ 组数据的众数是；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是；

(4)、根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．

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23. 已知：如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上两点，过点 $C$ 的切线交 $D A$ 的延长线于点 $E$ ， $D E ⊥ C E$ ，连接 $C D$ ， $B C$ ．

(1)、求证： $∠ D A B = 2 ∠ A B C$ ；

(2)、若 $t a n ∠ A D C = \frac{1}{2}$ ， $B C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

(1)、求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

(2)、为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

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25. 如图，直线 $y = \frac{3}{2} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(m ， - 3)$ ，点 $C$ 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 $B C$ 并延长交 $x$ 轴于点 $D$ ，且 $B C = 2 C D$ ．

(1)、求 $k$ 的值并直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、点 $G$ 是 $y$ 轴上的动点，连接 $G B$ ， $G C$ ，求 $G B + G C$ 的最小值；

(3)、 $P$ 是坐标轴上的点， $Q$ 是平面内一点，是否存在点 $P$ ， $Q$ ，使得四边形 $A B P Q$ 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B D = \frac{1}{3} B C$ ，将线段 $D B$ 绕点 $D$ 顺时针旋转至 $D E$ ，记旋转角为 $α$ ，连接 $B E$ ， $C E$ ，以 $C E$ 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 $C E F$ ．连接 $A F$ ．

(1)、如图1，当 $α = 180 °$ 时，请直接写出线段 $A F$ 与线段 $B E$ 的数量关系；

(2)、当 $0 ° < α < 180 °$ 时，
①如图2，（1）中线段 $A F$ 与线段 $B E$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3，当 $B$ ， $E$ ， $F$ 三点共线时，连接 $A E$ ，判断四边形 $A E C F$ 的形状，并说明理由．

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27. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，顶点为C．

(1)、求抛物线的表达式及点 $C$ 的坐标；

(2)、如图1，点 $P$ 在抛物线上，连接 $C P$ 并延长交 $x$ 轴于点D，连接 $A C$ ，若 $△ D A C$ 是以 $A C$ 为底的等腰三角形，求点P的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，点 $E$ 是线段 $A C$ 上（与点 $A$ ， $C$ 不重合）的动点，连接PE，作 $∠ P E F = ∠ C A B$ ，边EF交 $x$ 轴于点F，设点F的横坐标为 $m$ ，求m的取值范围．

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组别	使用数量（双）	频数
A	$0 ≤ x < 5$	14
B	$5 \leq x < 10$
C	$10 \leq x < 15$
D	$15 \leq x < 20$	$a$
E	$x ≥ 20$	10
合		50