辽宁省沈阳市2021年中考数学真题

试卷更新日期：2022-03-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 9的相反数是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、9 D、-9

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2. 下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据3270000用科学记数法表示为（）

A、 $32.7 \times 1 0^{5}$ B、 $0.327 \times 1 0^{7}$ C、 $3.27 \times 1 0^{5}$ D、 $3.27 \times 1 0^{6}$

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4. 下列计算结果正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ B、 $6 a - 2 a = 4 a$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(-^{} b)}^{2} = - a^{4} b^{2}$

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5. 如图，直线a，b被直线c所截，若 $a / / b$ ， $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、70° B、100° C、110° D、120°

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6. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（）

A、众数是17 B、众数是15 C、中位数是17 D、中位数是18

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7. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位似，位似中心是点O，若 $O A ： O A_{1} = 1 ： 2$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的周长比是（）

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、 $1 ： \sqrt{2}$

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8. 一次函数 $y = - 3 x + 1$ 的图象不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 下列说法正确的是（）

A、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B、“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C、了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 D、若平均数相同的甲、乙两组数据， ${s_{甲}}^{2} = 0.3$ ， ${s_{乙}}^{2} = 0.02$ ，则甲组数据更稳定

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10. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、π D、 $\frac{4 π}{3}$

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二、填空题

11. 分解因式：ax²+2ax+a=.

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 5 < 1 \\ 3 x - 5 \geq 0 \end{array}$ 的解集是．

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13. 化简： $(\frac{1}{x - 4} - \frac{8}{x^{2} - 16}) \cdot (x + 4) =$ ．

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14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的一点，过点A分别作 $A M ⊥ x$ 轴于点M， $A N ⊥ y$ 轴于点N．若四边形 $A M O N$ 的面积为12，则k的值是．

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15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ．四边形 $A B E F$ 是正方形，点D是直线BC上一点，且 $C D = 1$ ． P是线段 $D E$ 上一点，且 $P D = \frac{2}{3} D E$ ．过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则 $G H$ 的长是．

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三、解答题

17. 计算： ${(π - 2021)}^{0} - 3 \tan 30 ° + | 1 - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点M，N分别是边 $B C$ ， $D C$ 上的点， $B M = \frac{3}{4} B C$ ， $D N = \frac{3}{4} D C$ ．连接 $A M$ ， $A N$ ，延长 $A N$ 交线段 $B C$ 延长线于点E．

(1)、求证： $△ A B M ≌ △ A N D$ ；

(2)、若AD=4，则ME的长是．

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19. 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．

(1)、小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是．

(2)、请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．

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20. 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、在这次调查中一共抽取了名学生；

(2)、请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是度；

(4)、根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．

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21. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

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22. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 与 $⊙ O$ 交于点A，点E是半径 $O A$ 上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交 $⊙ O$ 于点C，连接 $C A$ ， $C B$ ．若 $C A = C D$ ， $∠ A B C = ∠ D$ ．

(1)、求证：AD是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $A B = 13$ ， $C A = C D = 5$ ，则 $A D$ 的长是．

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23. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 $y = k x + 15 (k \neq 0)$ 经过点 $C (3 ， 6)$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段 $C D$ 平行于x轴，交直线 $y = \frac{3}{4} x$ 于点D，连接 $O C$ ， $A D$ ．

(1)、填空： $k =$ ．点A的坐标是（，）；

(2)、求证：四边形 $O A D C$ 是平行四边形；

(3)、动点P从点O出发，沿对角线 $O D$ 以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线 $O D$ 以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当 $t = 1$ 时， $△ C P Q$ 的面积是 ▲ ．
②当点P，Q运动至四边形 $C P A Q$ 为矩形时，请直接写出此时t的值．

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $△ C D E$ 中， $C E = C D$ （ $C E \geq C A$ ）， $B C = C D$ ， $∠ D = α$ ， $∠ A C B + ∠ E C D = 180 °$ ，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且 $P B = P D$ ．

(1)、如图1，点D在线段BC延长线上，则 $∠ E C D =$ ， $∠ A B P =$ ，（用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分 $∠ A B C$ ；

(3)、若 $∠ A B C = 60 °$ ， $B C = \sqrt{3} + 1$ ，将图3中的 $△ C D E$ 绕点C按顺时针方向旋转，当 $B P ⊥ D E$ 时，直线 $P C$ 交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出 $G M$ 的长．

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25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是 $(3 ， 0)$ .拋物线与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点P是拋物线的顶点，连接 $P C$ .

(1)、求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

(2)、直线 $B C$ 与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线 $B C$ 上一动点.
①当 $△ Q A B$ 的面积等于 $△ P C D$ 面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于 $A Q$ ，直线 $y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3}$ 交直线l于点F，点G在直线 $y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3}$ 上，且 $A G = A Q$ 时，请直接写出 $G F$ 的长.

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