浙江省温州市2021-2022学年高一上学期数学期期末考试试卷（A卷）

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A ∩ B$ 是（）

A、R B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $\emptyset$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x + 1} ， x \leq 0 \\ x^{3} + 1 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 1)]$ 是（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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3. 设 $a = 3 . 1^{0.8} ， b = l o g_{3.1} 0.8 ， c = 0 . 8^{3.1}$ ，则a，b，c的大小关示是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{t a n x}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x \neq \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ B、 ${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ C、 ${x | x \neq \frac{π}{2} + k π ， k \in Z}$ D、 ${x | x \neq \frac{π}{2} + k π$ 且 $x \neq \frac{π}{4} + k π ， k \in Z}$

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5. 已知 $A = {x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}}$ ， $B = {y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{m}}$ ，则“ $\forall x_{i} \in A ， \exists y_{j} \in B$ 使得 $x_{i} = y_{j}$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知函数 $y = c o s 2 x$ ，若特它的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（）

A、 $y = c o s (6 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = - c o s 6 x$ C、 $y = c o s (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ D、 $y = - c o s \frac{2}{3} x$

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7. 在经济学中，供应和需求是一对矛盾．考虑某种商品的市场，当该商品的价格上升时，商家的供应量会增加，而消费者的需求量会减小．反之，如果价格降低，则供应量减小，需求量增加．习惯上以纵轴t表示商品的价格（单位：元/件），横轴s表示商品的量（单位：件），则供应量、需求量与价格的关系可以在同一坐标系中用两条曲线表示，分别称为供应曲线、需求曲线．为刺激经济，政府给消费者发放消费券，或者给商家提供一定的金额进行补贴．在商品价格不变的情况下，给消费者发放补贴会增加需求量，给商家发放补贴会增加供应量．如图所示，下列说法正确的是（）

A、P是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位 B、P是需求曲线，当政府给消费者补贴a元/件时，需求曲线向上平移a个单位 C、Q是供应曲线，当政府给商家补贴a元/件时，供应曲线向上平移a个单位 D、Q是需求曲线，当政府给消费者补贴a元件时，需求曲线向上平移a个单位

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8. 已知函数 $f (x) = (| x - a | - b) \cdot l n | x + a | ， a ， b \in R$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在定义域上恒成立，则 $a + b$ 的值是（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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二、多选题

9. 下列各式的值为1的是（）

A、 $l g 2 \cdot l g 5$ B、 $l g^{2} 2 + l g^{2} 5$ C、 $l g 2 + l g 5$ D、 $l o g_{5} 2 \cdot l o g_{2} 5$

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10. 已知实数a，b，c满足： $a + b = c$ 且 $a b > 0$ ，则（）

A、 $a^{2} < c^{2}$ B、 $a b < \frac{c^{2}}{2}$ C、 $2^{a} + 2^{b} > 2^{c}$ D、 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x \cdot c o s (x + \frac{π}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、最小正周期为2π B、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减 D、最大值为2

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m ， g (x) = f [f (x)] - x$ ，则（）

A、当 $m = \frac{1}{4}$ 时，函数 $g (x)$ 有且仅有一个零点 B、当 $m > \frac{1}{4}$ 时，函数 $g (x)$ 没有零点 C、当 $0 < m < \frac{1}{4}$ 时，函数 $g (x)$ 有两个不同的零点 D、当 $m < 0$ ，函数 $g (x)$ 有四个不同的零点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点．

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14. 已知 $s i n (\frac{π}{12} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (\frac{5 π}{6} - 2 α) =$ ．

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15. 若正数a，b满足 $a b + 2 a + b = 7$ ，则 $a + b$ 的最小值是．

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16. 写出同时满足以下三个条件的一个函数 $f (x)$ ＝．
① $\forall x \in R ， f (- x) = - f (x)$ ；
② $\forall x ， y \in R ， f (x y) = f (x) f (y)$ ；
③ $\forall x ， y \in [0 ， + \infty)$ 且 $x \neq y ， f (\frac{x + y}{2}) < \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ．

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四、解答题

17. 设 $a \in R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - (a + 2) x < 0} ， B = {x | | x - a ∣ < 2}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $- 3 \in A ∩ (∁_{R} B)$ ，求a的取值范围．

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18. 如图，函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图象最高点M（2，2 $\sqrt{2}$ ）与最低点N的距离 $| M N | = 4 \sqrt{6}$ ．

(1)、求函数f（x）的解析式；

(2)、若 $f (\frac{16 α}{π}) = \frac{2}{5} ， α \in [\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{8}]$ ，求 $c o s 2 α$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{2 + x}{2 - x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ．

(1)、判断函数的奇偶性，并证明；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，函数 $f (x)$ 的值城是[－1，1]．求实数a的值．

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}} ， x \in R$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq \frac{63}{8}$ 的解集；

(2)、若存在实数 $x \in [1 ， 2]$ ，使得不等式 $f (3 x) \leq m f (2 x)$ 成立，求实数m的取值范围．

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21. 如图，自行车前后轮半径均为rcm（忽略轮胎厚度），固定心轴间距 $| O_{1} O_{2} |$ 为3rcm，后轮气门芯P的起始位置在后轮的最上方，前轮气门芯Q的起始位置在前轮的最右方．当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动的过程中，前后轮转动的角速度均为 $ω r a d / s$ ，经过t（单位：s）后P，Q两点间距离为f（t）．

(1)、求f（t）的解析式：

(2)、求f（t）的最大值和最小值．

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22. 已知 $f (x) = x^{2} - a | x | + b$ 与 $g (x) = 3 c o s 2 x + (2 a - 3) c o s x + 3 - a$ 均为定义在（－ $\frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ ）上的函数，其中a，b均为实数．

(1)、若g（x）存在最小值，求a的取植范围；

(2)、设 $h (x) = \frac{f (x) + g (x) - | f (x) - g (x) |}{2}$ ，若h（x）恰有三个不同的零点，求a的值．

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