浙江省台州市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x \in R | - 1 \leq x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{-1，0，2} C、{-1，0} D、{-1，0，1}

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2. 设f（x）是定义在R上的奇函数，若 $f (- 1) = 1$ ，则f（1）=（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 不等式 $\frac{x}{x - 1} < 0$ 的解集为（）

A、（-∞，0） B、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ C、（0，1） D、（-∞，1）

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4. $s i n 7 5^{∘} c o s 1 5^{∘} - c o s 7 5^{∘} s i n 1 5^{∘} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、1

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5. 函数 $f (x) = \frac{x s i n 2 x}{2^{| x |}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > 1 ， b > 1$ 是“ $a + b < a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足 $2 m_{1} + 5 l g E_{1} = 2 m_{2} + 5 l g E_{2}$ ，其中星等为 $m_{k}$ 的星的亮度为 $E_{k} (k = 1 ， 2)$ .已知甲天体的星等是 $-$ 26.7，甲天体与乙天体的亮度的比值为 $1 0^{10 ， 1}$ ，则乙天体的星等是（）

A、1.45 B、 $-$ 1.45 C、 $-$ 2.9 D、 $-$ 11.9

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x$ 的定义域为区间[m，n]，其中 $a ， m ， n \in R$ ，若f（x）的值域为[-4，4]，则 $n - m$ 的取值范围是（）

A、[4，4 $\sqrt{2}$ ] B、[2 $\sqrt{2}$ ， 8 $\sqrt{2}$ ] C、[4，8 $\sqrt{2}$ ] D、[4 $\sqrt{2}$ ， 8]

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二、多选题

9. 下列函数中，定义域为 $(0 ， + ∞)$ 的函数是（）

A、 $y = l n x$ B、 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = 2^{x}$

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10. 设函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为π C、 $x = \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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11. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ B、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 (a + b - 3)$

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12. 若存在 $α ， β \in R$ ，使得函数 $f (x) = s i n (x + α) ， g (x) = c o s (x + β)$ 在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上均单调递增，则可能成立的是（）

A、 $s i n (α + β) > 0 ， c o s (α + β) > 0$ B、 $s i n (α + β) < 0 ， c o s (α + β) < 0$ C、 $s i n (α + β) > 0 ， c o s (α + β) < 0$ D、 $s i n (α + β) ⟨ 0 ， c o s (α + β) ⟩ 0$

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三、填空题

13. 若实数a满足 $a - a^{- 1} = 2$ ，则 $a^{2} + a^{- 2} =$ .

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + a ， x \geq 1 \\ - x ， x < 1 \end{array}$ ，若 $f (f (- 2)) = 9$ ，则实数a的值为.

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15. 在△ABC中，若 $s i n A = \frac{1}{2}$ ， $t a n B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则cosC=.

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16. 设 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，若 $3 a + 2 b = a b - 3$ ，则 $l o g_{3} (a - 2) \cdot l o g_{3} (b - 3)$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2)$ ，集合 $B = {x ∣ (x - 1) (x + a) < 0}$ .

(1)、求集合A；

(2)、若 $- 2 \in A ∪ B$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x - \sqrt{3} c o s^{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的x的取值集合.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，若将函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度得到函数g（x）的图象.

(1)、求函数g（x）的解析式和值域；

(2)、若对任意的 $x \in R$ ， $g^{2} (x) - m g (x) + 2 \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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20. 一家农产品网店要对指定的四件商品进行优惠促销活动，商品原价分别为110元､75元､50元､m元.促销方案如下：若购买的商品总价超过100元，则可享受8折优惠；享受8折优惠后，若满200元可再减免x元（ $x \geq 10$ ）；但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%.

(1)、若m=200，x=25，且顾客只选购了其中的两件商品，求优惠总额最多时顾客支付的金额；

(2)、若顾客支付220元恰好买齐这四件商品，求m的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{e^{x}} - l n x (a > 0 ， e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数）.

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性和零点个数，并证明你的结论；

(2)、当 $x \in [1 ， e]$ 时，关于x的不等式 $f (x) > 2 x - l n a$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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