浙江省绍兴市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{3} B、{2} C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 命题“ $\exists x \in N$ ， $x^{3} \geq 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} < 1$ B、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} < 1$ C、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} \geq 1$ D、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} \leq 1$

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3. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、-3 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = l o g_{4} 3$ ， $c = s i n 210 °$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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5. 函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{3}}{1 - | x |}$ B、 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

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6. 将函数y=sin（2x- $\frac{π}{6}$ ）的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个周期后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{12})$ B、 $y = s i n (2 x - \frac{2 π}{3})$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{5 π}{12})$

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7. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的单位圆与锐角x的终边交于点P，过点 $A (1 ， 0)$ 作x轴的垂线与锐角x的终边交于点T，如图所示， $△ A O P$ 的面积小于扇形AOP的面积，扇形AOP的面积小于 $△ A O T$ 的面积，则（）

A、 $\exists x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x > x$ B、 $\exists x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n x > t a n x$ C、 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $x + c o s x > \frac{π}{2}$ D、 $\forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $x + t a n (\frac{π}{2} - x) > \frac{π}{2}$

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8. 已知 $a^{2} - 2 a b - 3 b^{2} = 1$ ，且 $l o g_{2} (a + b) \geq 1$ ，则a-b的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5}{4}]$ B、 $[\frac{5}{4} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = x$ ， $g (x) = l o g_{2} 2^{x}$

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10. 对 $\forall x \in R$ ， $a \leq 2 + s i n x$ 成立的充分不必要条件可以是（）

A、 $a = 0$ B、 $a \leq 1$ C、 $a = 1$ D、 $a = 3$

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11. 已知 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ， $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} b ， a \leq b \\ a ， a > b \end{array}$ ，则（）

A、 $m i n {a ， b} + m a x {a ， b} = a + b$ B、 $m i n {a ， b} = \frac{a + b - | a - b |}{2}$ C、 $m a x {{(a + b)}^{2} ， {(a - b)}^{2}} \leq a^{2} + b^{2}$ D、 $m a x {| a + b | ， | a - b |} \geq m a x {| a | ， | b |}$

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12. 已知函数 $f (x) = (2 x - π) c o s x - s i n x$ ， $x \in (π - θ ， θ)$ （其中 $θ$ 是大于 $\frac{π}{2}$ 的常数），则 $f (x)$ 的所有零点之和可能是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、 $\frac{3 π}{2}$ D、2π

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， x > 0 \\ 4^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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14. 已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是.

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{a}{b}$ 的最小值是.

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16. 已知函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} - | 2 x + a |$ ，若对任意的 $x \in [a - 1 ， a + 1]$ ， $f (x) \leq 4$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \geq 0}$ .

(1)、求集合B；

(2)、求 $∁_{R} (A ∪ B)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - 2 c o s^{2} x + 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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19. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1}$ ℃，空气的温度是 $θ_{0}$ ℃，那么 $t m i n$ 后物体的温度 $θ$ (单位：℃)可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，e是自然对数的底数.现有85℃的物体，放在5℃的空气中冷却，10 $m i n$ 以后物体的温度是45℃.

(1)、求k的值；

(2)、求该物体的温度由85℃降到30℃所需要的冷却时间.(冷却时间精确到0.1 $m i n$ ，参考数据： $l o g_{2} 5 \approx 2.322$ )

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20. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (0 ， π)$ ，且 $t a n α = \frac{3}{4}$ ， $s i n (α + β) = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $c o s (β - α)$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{x + 1}{x - 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $a = 2$ ，求函数 $y = f (2^{x})$ 的值域；

(3)、是否存在实数a，b，使得函数 $f (x)$ 在区间 $(b ， \frac{3}{2} a)$ 上的值域为 $(1 ， 2)$ ，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点，求a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，求a的最小值；

(3)、若 $a = 0$ ，对任意 $x \in [1 ， + ∞)$ 均有 $x^{2} + x \geq m f (x) + m^{2}$ ，求实数m的取值范围.

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