浙江省衢州市2021-2022学年高一上学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=（）

A、{1} B、{2} C、{3} D、{1，2，3}

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2. 若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(3 ， \sqrt{3})$ ，则 $α$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 设 $x$ $\in$ R，则“ $x$ ＞1”是“ $x^{2}$ ＞1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 要得到函数 $y = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需将函数 $y = s i n x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ B、向右平移 $\frac{π}{6}$ C、向右平移 $\frac{π}{3}$ D、向左平移 $\frac{π}{3}$

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5. 已知 $s i n (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 已知 $s i n (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - 1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6} + 1}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{6}$

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7. 浙江省在先行探索高质量发展建设共同富裕示范区，统计数据表明，2021年前三季度全省生产总值同比增长10.6%，两年平均增长6.4%，倘若以8%的年平均增长率来计算，经过多少年可实现全省生产总值翻一番（ $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）（）

A、7年 B、8年 C、9年 D、10年

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则不等式 $f (x - 2) + f (x^{2} - 4) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 6)$ D、 $(- 6 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4})$ ，则 $f (x + \frac{π}{4})$ （）

A、是奇函数 B、是偶函数 C、关于点 $(π ， 0)$ 成中心对称 D、关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 成中心对称

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10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中 $P_{0}$ ）开始计时，则（）

A、点P第一次达到最高点，需要20秒 B、当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C、在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D、点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 $h = 4 s i n (\frac{π}{30} t - \frac{π}{6}) + 2$

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11. 若a， $b \in (0 ， + \infty)$ ， $a + b = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b})$ 的最小值为4 B、 $\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 + b}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{2 a}{a^{2} + b} + \frac{b}{a + b^{2}}$ 的最大值是 $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，集合 $A = {x | f (x) \leq 0}$ ，集合 $B = {x | f (f (x)) \leq \frac{5}{4}}$ ，若 $A = B \neq \emptyset$ ，则实数a的取值可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x^{2}, x \leq 1 \\ x^{2} + x - 2, x > 1 \end{array}$ 则 $f (\frac{1}{f (2)})$ 的值为．

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14. 函数 $g (x) = l o g_{2} (x^{2} - 5 x + 6)$ 在单调递增（填写一个满足条件的区间）．

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15. 若 $t a n θ = 2$ ，则 $s i n^{2} θ - s i n θ c o s θ - 3 c o s^{2} θ =$ ．

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16. 已知正实数x，y满足 $2 x + y = 2$ ，则 $x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值．

(1)、 ${(\frac{16}{81})}^{- \frac{1}{4}} + 3^{l o {g_{3}}^{2}} + e^{0} + {[{(- 2)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} - l g 100$

(2)、 $s i n 50 ° \cdot (1 + \sqrt{3} t a n 10 °)$

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18. 已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|x²-x<0}
（I）若a=1，求A $\cup$ B， $A \cap (∁_{R} B)$ ；

（II）若A $\cap$ B= $\emptyset$ ，求实数a的取值范围

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} s i n (2 x + \frac{π}{3}) - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函教 $y = f (x)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域．

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20. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本 $C (x)$ ，当年产量不足60千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x$ （万元），当年产量不小于60千件时， $C (x) = 51 x + \frac{6400}{x} - 1000$ （万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．

(1)、写出利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式；

(2)、该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？

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21. 设函数 $f (x) = a^{x} + k \cdot a^{- x} + c o s x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $k \in R$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，求实数k的值；

(2)、若 $k = 0$ ，对任意的 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，不等式 $1 + \frac{7}{2} c o s x + f (2 x) > {[f (x)]}^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{5}{x}$ ， $x \in [1 ， 5]$ ， $g (x) = x^{2} - 2 a | x - 1 | + a$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对任意的 $x \in [2 ， 4]$ ，都有 $g (x) \geq a$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若对任意的 $x_{0} \in [1 ， 5]$ ，都存在四个不同的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ ，其中 $i = 1$ ， 2，3，4，求实数a的取值范围．

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