浙江省宁波市九校2021-2022学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 4}$

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2. 已知弧长为 $4 π$ 的扇形圆心角为 $\frac{π}{6}$ ，则此扇形的面积为（）

A、24π B、36π C、48π D、96π

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3. 已知 $a ， b ， c \in R$ ， $a \neq 0$ ，则“关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 有解”是“ $b^{2} - 4 a c > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{x c o s x}{x^{2} - 4}$ ，则其图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定： $100 m l$ 血液中酒精含量达到 $20 ∼ 79 m g$ 的驾驶员即为酒后驾车， $80 m g$ 及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了 $0.6$ $m g$ $/ m l$ ，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据： $l g 2 = 0.301$ ， $l g 3 = 0.477$ ）（）

A、3 B、4 C、5 D、7

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 为减函数，则（）

A、 $f (l o g_{\frac{1}{3}} 2) < f (s i n \frac{3 π}{2}) < f (2^{\frac{2}{3}})$ B、 $f (s i n \frac{3 π}{2}) < f (l o g_{\frac{1}{3}} 2) < f (2^{\frac{2}{3}})$ C、 $f (2^{\frac{2}{3}}) < f (s i n \frac{3 π}{2}) < f (l o g_{\frac{1}{3}} 2)$ D、 $f (2^{\frac{2}{3}}) < f (l o g_{\frac{1}{3}} 2) < f (s i n \frac{3 π}{2})$

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7. 已知 $k < - 4$ ，则函数 $f (x) = c o s 2 x + k (1 - s i n x)$ 的最大值为（）

A、-1 B、1 C、 $2 k - 1$ D、 $2 k + 1$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 s i n \frac{π x}{2} ， x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，则方程 $f (x) = l g (x + 2)$ 的根的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，且 $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ C、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$

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10. 下列等式成立的是（）

A、 $s i n^{2} 75 ° - c o s^{2} 75 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2} s i n 15 ° + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 15 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $s i n 75 ° c o s 75 ° = \frac{1}{4}$ D、 $t a n 165 ° = 2 - \sqrt{3}$

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11. 已知 $f (x)$ 在定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2 k) = 0 ， k \in Z$ B、 $f (2 k - 1) = l n (\sqrt{2} + 1) ， k \in Z$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0} + 2) - f (x_{0}) = 1$ D、方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 在 $[- 4 ， 2]$ 的各根之和为-6

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12. 对 $f ： D \to R$ ， $g ： D \to R$ ，若 $\exists k > 0$ ，使得 $\forall x_{1} ， x_{2} \in D$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq k | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ ，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上相对于 $g (x)$ 满足“ $k$ -普希兹”条件，下列说法正确的是（）

A、若 $f (x) = l o g_{2} x ， g (x) = x$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上相对于 $g (x)$ 满足“2-利普希兹”条件 B、若 $f (x) = \sqrt{x} ， g (x) = x$ ， $f (x)$ 在 $[1 ， 4]$ 上相对于 $g (x)$ 满足“ $k$ -利普希兹”条件，则 $k$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $f (x) = a x ， g (x) = \frac{1}{x} ， f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上相对于 $g (x)$ 满足“4-利普希兹”条件，则 $a$ 的最大值为 $\frac{4}{9}$ D、若 $f (x) = x ， g (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) ， f (x)$ 在非空数集 $D$ 上相对于 $g (x)$ 满足“1-利普希兹”条件，则 $D \subseteq (- \infty ， 0]$

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三、填空题

13. 计算 $8^{\frac{2}{3}} - l o g_{3} 27 =$ .

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14. 若 $t a n α ， t a n β$ 是方程 $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 的两根， $θ = α + β$ ，则 $\frac{2 c o s (π + θ) + c o s (\frac{3 π}{2} - θ)}{s i n (\frac{11 π}{2} - θ) + s i n (5 π - θ)} =$ .

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15. 已知 $f (x) = (e^{x - a} - 1) l n (x + 2 a - 1)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 对 $x \in (1 - 2 a ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $a =$ .

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16. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $\frac{8}{{(b + 1)}^{3}} + \frac{10}{b + 1} \leq a^{3} + 5 a$ ，则 $3 a + 2 b$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 从① $A = {x | l o g_{\frac{1}{2}} (x + 1) \geq - 2}$ ；② $A = {x | \frac{1}{8} \leq {(\frac{1}{2})}^{x} < 2}$ ；③ $A = {x | \frac{x - 3}{x + 1} \leq 0}$ ，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知集合____，集合 $B = {x | 2 m < x < m^{2} ， m \in R}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{5 π}{6} - 2 x) - 2 s i n (x - \frac{π}{4}) c o s (x + \frac{3 π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将此时图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 图象的对称轴方程.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a - 2^{x}}{1 + 2^{x}} (a \in R)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $f [k \cdot (4^{x} + 2^{x})] + f (a - 2^{x}) \leq 0$ 对 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 $A B C D$ 的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形 $F H E$ 三条边， $H$ 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口 $H$ 是 $A B$ 的中点， $E ， F$ 分别落在线段 $B C ， A D$ 上（含线段两端点），已知 $A B = 40$ 米， $A D = 20 \sqrt{3}$ 米，记 $∠ B H E = θ$ .

(1)、试将污水净化管道的总长度 $L$ （即 $△ F H E$ 的周长）表示为 $θ$ 的函数，并求出定义域；

(2)、问 $θ$ 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

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21. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} - k x + 2 k) (k \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 单调递减，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若方程 $f (x^{2}) = l n (x^{4} + x^{3} + \frac{4}{x})$ 在 $[2 ， 6]$ 上有两个不相等的实根，求 $k$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) | x - a + 1 | (a \in R)$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，写出 $f (x)$ 的单调递增区间（不要求写出推证过程）；

(2)、若存在 $b \in R$ ，使得对任意 $x \in [4 ， 8]$ 都有 $| f (x) - b | \leq \frac{9}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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