浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、{3} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$

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2. 已知角 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，则“ $s i n A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“ $A = \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = t a n x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = x^{3}$

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4. 已知 $a = 2^{\frac{2}{3}}$ ， $b = 2^{\frac{2}{5}}$ ， $c = 3^{\frac{2}{3}}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、-2022 B、0 C、1 D、2022

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6. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 $1$ 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于 $1$ 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 $R_{0}$ ， 1个感染者在每个传染期会接触到 $N$ 个新人，这 $N$ 人中有 $V$ 个人接种过疫苗( $\frac{V}{N}$ 称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为 $\frac{R_{0}}{N} (N - V)$ ．已知新冠病毒在某地的基本传染数 $R_{0} ＝ 2.5 ，$ 为了使1个感染者传染人数不超过 $1$ ，该地疫苗的接种率至少为（）

A、40% B、50% C、60% D、70%

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) | x |$ B、 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) | x |$ C、 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) l o g_{\frac{1}{2}} | x |$ D、 $f (x) = (2^{x} + 2^{- x}) l o g_{2} | x |$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n$ ，则存在 $m ， n \in R$ ，对任意的 $x \in R$ 有（）

A、 $f (x) < f (x + 2022)$ B、 $2022 f (f (x)) \geq 202 2^{x}$ C、 $f (x^{2} - 1) < f (x - 2022)$ D、 $f (\sqrt{x^{2} + 2022}) \geq f (\frac{2022 \sqrt{2022}}{x^{2} + 2022})$

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二、多选题

9. 若 $c o s θ \cdot t a n θ > 0$ ，则角 $θ$ 的终边可能落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 已知正实数x，y，z满足 $2^{x} = 5^{y} = 1 0^{z}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $x + y = z$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ C、 $\frac{z}{2} > \frac{y}{5} > \frac{x}{10}$ D、 $x y > 4 z^{2}$

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11. 设函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{3}) (x \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\exists α \in R$ ，使得 $f (α) = f (- α) = 1$ B、 $\exists α \in R$ ，使得 $f (α) = f (- α) = \frac{1}{2}$ C、 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x - \frac{π}{3}) + f (- x) = 0$ D、 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x - \frac{π}{6}) = f (- x - \frac{π}{6})$

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12. 若实数a，b满足 $3^{a} + 4 a = 4^{b} + 3 b$ ，则下列关系式中可能成立的是（）

A、 $0 < a < b < 1$ B、 $b < a < 0$ C、 $1 < a < b$ D、 $a = b$

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三、填空题

13. 已知扇形的圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径为 $3$ ，则扇形的面积是.

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14. 已知 $s i n (α + π) = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (a) + f (a^{2} - 2) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 是函数 $f (x) = x (2^{x} + 1) + m (2^{x} - 1) (m \in R ， m \neq 0)$ 的三个零点，则 $2^{- x_{1}} - x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | | x | \leq 4}$ ， $B = {x ∣ 5 - m \leq x \leq 5 + m ， m > 0}$ ．

(1)、若 $m = 10$ ，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若命题 $p ：$ “ $\forall x \in A$ ， $x \in B$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{4} + x) c o s (\frac{π}{4} + x) + \sqrt{3} s i n x c o s x$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $s i n B + s i n C$ 的最大值．

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递减区间．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为增函数；

(2)、若对于区间 $[3 ， 4]$ 上的每一个 $x$ 值，不等式 $f (x) + x > {(\frac{1}{2})}^{x} + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．

(1)、游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t m i n$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)、在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出 $h \geq 25$ 时t的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$ ， $g (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(m ， m + 1)$ 上不单调，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、对 $\forall t \in [1 ， 2]$ ， $\exists x_{i} \in [1 ， 2] (i = 1 ， 2)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使 $f (x_{i}) = g (t)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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