浙江省丽水市2021-2022学年高一上学期数学期末教学质量监控试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {3 ， 4 ， 6}$ ，则 $(∁_{U} A) ∪ B =$ （）

A、{3} B、 ${4 ， 6}$ C、 ${1 ， 3 ， 4 ， 6}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 命题“ $\forall α > β$ ， $\sin α > \sin β$ ”的否定为（）

A、 $\forall α > β$ ， $\sin α \leq \sin β$ B、 $\forall α ⩽ β$ ， $\sin α > \sin β$ C、 $\exists α > β$ ， $\sin α \leq \sin β$ D、 $\exists α ⩽ β$ ， $\sin α \leq \sin β$

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3. “ $α$ 是钝角”是“ $α$ 是第二象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 为了得到函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，可以将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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5. 设 $a = 2^{0.7}$ ， $b = l o g_{2} 5$ ， $c = l o g_{0.4} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 为实现碳达峰、碳中和奠定坚实基础，《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》中提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（）

A、0.036 B、 $1 - \sqrt[5]{0.82}$ C、 $\sqrt[5]{0.82}$ D、 $1 + \sqrt[5]{0.82}$

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7. 图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = x \cdot c o s x$ B、 $y = x \cdot s i n x$ C、 $y = x \cdot | c o s x |$ D、 $y = x \cdot 2^{x}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (1 - 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的定义域是 $(- 1 ， 1)$ B、函数 $y = \frac{1}{x}$ 在其定义域上单调递减 C、函数 $y = 2^{1 - x}$ 的值域是 $(0 ， + \infty)$ D、函数 $y = l o g_{a} (x - 1) + 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象过定点 $(2 ， 2)$

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10. 已知角 $α$ 的终边与单位圆相交于点 $P (\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ ，则（）

A、 $c o s α = \frac{4}{5}$ B、 $t a n α = - \frac{3}{4}$ C、 $s i n (α + π) = \frac{3}{5}$ D、 $c o s (α - \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$

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11. 下列各式中，值可取 $1$ 的是（）

A、 $c o s^{2} 1 5^{∘} - s i n^{2} 1 5^{∘}$ B、 $2 s i n x c o s (x - \frac{π}{3})$ C、 $s i n x c o s (x + \frac{π}{6}) - c o s x s i n (x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}$ D、 $t a n 1 0^{∘} + t a n 3 5^{∘} + t a n 1 0^{∘} t a n 3 5^{∘}$

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12. 已知 $a ， b$ 是正实数，若 $2 a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是2 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{1}{4 a + b} + \frac{2}{a + b}$ 的最小值是 $\frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知幂函数y=f（x）的图象过点 $(3 ， \sqrt{3}) ，则 f (9)$ = ．

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14. 已知集合 $A = {x | x^{2} + a x + b = 0}$ ， $B = {3}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a + b =$

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15. 为了实现绿色发展，避免用电浪费，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳电费227元，则该月用电量为度．
每户每月用电量
电价
不超过210度的部分
0.5元/度
超过210度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度

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16. 已知 $2^{a} = 3^{b} = m$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $m =$

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17. 已知 $0 < α < π$ ， $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α =$

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a ， b \in R)$ ，设 $A = {x | f (x) \leq a}$ ， $B = {x | f (f (x)) \leq a}$ ，若 $A = B \neq \emptyset$ 成立，则实数 $a$ 的最大值是

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四、解答题

19. 设偶函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + \frac{m}{x} ， x > 0 ， \\ g (x) ， x < 0 ， \end{array}$ 且 $g (- 1) = 3 .$

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、根据定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上单调递增．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求函数 $f (π x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $y = f (x - \frac{π}{6}) + f (x + \frac{π}{6})$ 的取值范围．

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21. 如图，一个轴心为 $O$ 的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$ (单位： $m$ )(在水面下则 $d$ 为负数)，若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $d$ 与时间 $t$ (单位： $s$ )之间的关系为 $d (t) = 4 s i n (ω t + φ) + 2 \sqrt{3} (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，求

(1)、筒车转了 $15 s$ 时，盛水筒 $P$ 到水面的距离；

(2)、盛水筒 $P$ 入水后至少经过多少时间出水？

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{l o g_{2} x + 1} - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若方程 $l o g_{\frac{1}{2}} x - m f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = (1 + \frac{a}{x}) | x - a | ， a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，当 $x \in [1 ， 2]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若存在 $b \in [0 ， 2]$ ，对任意 $x \in [1 ， 2]$ 都有 $f (x) \leq b x - 2$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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每户每月用电量	电价
不超过210度的部分	0.5元/度
超过210度但不超过400度的部分	0.6元/度
超过400度的部分	0.8元/度