浙江省金华十校2021-2022学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | 2 < x < 7}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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2. 命题 $p$ ： $a > 1$ ，命题 $q$ ： $\frac{1}{a} < 1$ （其中 $a \in R$ ），那么p是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足 $V = 10^{L - 5}$ ，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注： $\sqrt[10]{10} \approx 1.25$ ）

A、0.6 B、0.8 C、1.2 D、1.5

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4. 刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 $n$ 边形等分成 $n$ 个等腰三角形(如图所示)，当 $n$ 变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到 $s i n 1 °$ 的近似值为（）

A、 $\frac{π}{90}$ B、 $\frac{π}{180}$ C、 $\frac{π}{270}$ D、 $\frac{π}{60}$

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5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数 $y = (x + \frac{1}{x}) c o s x$ 的解析式可判断其在区间 $[- π ， π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额 $y$ 关于乘客量 $x$ 的图象，图（2）､（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（）

A、图（1）的点 $A$ 的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位 B、图（1）的射线AB上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利 C、图（2）的建议为降低成本而保持票价不变 D、图（3）的建议为降低成本的同时提高票价

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足对任意 $x_{1} < x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，则函数 $f (x) =$ （）

A、 $e^{- x}$ B、 $x^{2} + x$ C、 $e^{x} - x$ D、 $\sqrt{x^{2} + 1} - x$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，若正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b + c$ ，则（）

A、 $f (a^{2}) < f (b^{2}) + f (c^{2})$ B、 $f (\sqrt{a}) < f (\sqrt{b}) + f (\sqrt{c})$ C、 $f (l n a) < f (l n b) + f (l n c)$ D、 $f (s i n a) < f (s i n b) + f (s i n c)$

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二、多选题

9. 已知 $f (x) = s i n x$ ， $x \in R$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增 C、 $f (x) \in [- 1 ， 1]$ D、 $f (x)$ 的图象关于 $x = π$ 对称

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a x + c > 0$ 的解集为 ${x | x > 6}$ C、 $8 a + 4 b + 3 c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}}$

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11. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在R上的函数，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 为偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (g (x))$ 为偶函数 B、 $g (0) = 0$ C、 $f^{2} (x) - g^{2} (x)$ 为定值 D、 $| f (x) | + g (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 \\ 2^{- x} ， x < 0 \end{array}$

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12. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a + 3 b + 6 c = 0$ ， $f (0) < 0$ ， $f (1) < 0$ ，则 $f (x) = 0$ 的根的分布情况可能为（）

A、 $f (x) = 0$ 可能无解 B、 $f (x) = 0$ 有两相等解 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (0 ， 1)$ C、 $f (x) = 0$ 有两个不同解 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 1)$ D、 $f (x) = 0$ 有两个都不在 $(0 ， 1)$ 内的不同解 $x_{1}$ ， $x_{2}$

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三、填空题

13. 亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为.

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14. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为2π，则该勒洛三角形的面积是.

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15. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 2 b x + 8 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， m) ∪ (\frac{4}{m} ， + \infty)$ ，其中 $m < 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是.

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16. 若 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在 $[π ， \frac{3 π}{2}]$ 内无零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 c o s x (\sqrt{3} s i n x + c o s x)$ ， $x \in R$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (\frac{θ}{2}) = 2$ ， $θ \in R$ ，求 $s i n (2 θ - \frac{π}{6})$ 的值

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18. 计算下列各式：

(1)、 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - {(\frac{49}{9})}^{0.5} + {(0.008)}^{- \frac{2}{3}} \times \frac{2}{25}$

(2)、 $l o g_{3} 27 + l o g_{3} 2 \times l o g_{2} 3 - 6^{l o g_{6} 2} + l g 2 + l g 5$

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）图象上两相邻最高点之间的距离为 $π$ ，且点 $P (\frac{π}{3} ， 1)$ 是该函数图象上的一个最高点

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把函数 $f (λ x) (λ > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若恒有 $g (x) \leq g (\frac{π}{6})$ ，求实数 $λ$ 的最小值.

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20. 2015年10月，实施了30多年的独生子女政策正式宣告终结，党的十八届五中全会公报宣布在我国全面放开二胎政策.2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持我国人力资源禀赋优势.某镇2021年1月，2月，3月新生儿的人数分别为52，61，68，当年4月初我们选择新生儿人数 $y$ 和月份 $x$ 之间的下列两个函数关系式① $y = a x^{2} + b x + c$ ；② $y = p q^{x} + r$ （a， $b$ ， c，p， $q$ 都是常数），对2021年新生儿人数进行了预测.
（参考数据： ${(\frac{5}{9})}^{6} \approx 0.029$ ， ${(\frac{7}{9})}^{4} \approx 0.366$ ， ${(\frac{7}{9})}^{5} \approx 0.285$ ， ${(\frac{7}{9})}^{6} \approx 0.221$ ， ${(\frac{11}{9})}^{6} \approx 3.33$ ）

(1)、请你利用所给的1月，2月，3月份数据，求出这两个函数表达式；

(2)、结果该地在4月，5月，6月份的新生儿人数是74，78，83，你认为哪个函数模型更符合实际？并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a (x - 1) + 3$ ，

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值；

(2)、记集合 $A = {x | f (x) < 0}$ ， $B = {x | 2 a - a x > 0}$ ，若 $A ∩ B \neq \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{a^{x} - b}$ $(a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是 $R$ 上的奇函数，且 $f (2) = \frac{3}{5}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (m x^{2} - 2 x) + f (m x + 2) \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、把区间 $(0 ， 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}$ ， $i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 2 n - 1$ ，设 $g (x) = \frac{3}{2} - \frac{2}{2^{x - 1} + 1}$ ，记 $F (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \cdot \cdot \cdot + g (x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数 $n$ ，使不等式 $\frac{f (2 x)}{f (x)} \geq F (n)$ 有解？若存在，求出所有 $n$ 的值，若不存在，说明理由.

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