浙江省嘉兴市2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-03-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 0 \leq x < 2} ， B = {x ∣ - 1 < x < 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0]$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1)$

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 的顶点与原点 $O$ 重合，它的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边 $O P$ 交单位圆 $O$ 于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $t a n θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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3. 已知命题 $p ： \exists a \in N ， a \geq 100$ ，则 $¬ p$ 为（）

A、 $\exists a \in N ， a \leq 100$ B、 $\exists a \in N ， a < 100$ C、 $\forall a \in N ， a \leq 100$ D、 $\forall a \in N ， a < 100$

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数f（x）的图象，则（）

A、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ D、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{2 π}{3})$

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6. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) s i n x$ 的图象大致形状为（）．

A、 B、 C、 D、

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 \\ | l o g_{2} (x - 4) | ， x > 4 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），则 $x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + \frac{1}{2} x_{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{31}{2}$ B、16 C、 $\frac{33}{2}$ D、17

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8. 已知a，b，c都是正实数，设 $M = \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $0 < M \leq 1$ B、 $1 < M \leq \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} \leq M < 2$ D、 $1 < M < 2$

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二、多选题

9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (t) = t^{2} ， g (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = c o s x ， g (x) = s i n (x + \frac{π}{2})$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2} ， g (x) = {\begin{array}{l} x (x \geq 0) \\ - x (x < 0) \end{array}$ D、 $f (x) = l o g_{4} x ， g (x) = l o g_{2} \sqrt{x}$

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10. 血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压 $\geq 140 m m H g$ 或舒张压 $\geq 90 m m H g$ ，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点起， $t = 0$ ），他的血压 $p (t)$ （单位：）与经过的时间 $t$ （单位： $h$ ）满足关系式 $p (t) = 116 + 22 s i n (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、血压 $p (t)$ 的最小正周期为6 B、当天下午 $3$ 点小王的血压为105 C、当天小王有高血压 D、当天小王的收缩压与舒张压之差为44

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11. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} - a x - a - 1)$ ，下列说法正确的有（）

A、不存在实数a，使f（x）的定义域为R B、函数f（x）一定有最小值 C、对任意正实数a，f（x）的值域为R D、若函数f（x）在区间 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是 $(- \infty ， 1)$

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12. 已知正实数x，y满足 $x + 2 y = 2$ ，若不等式 $3 x^{2} - 2 m^{2} x y + 6 y^{2} + 2 x + 4 y > 0$ 恒成立，则实数m的值可以为（）

A、-4 B、-2 C、1 D、3

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三、填空题

13. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一，意思是：将直径乘以弧长再除以 $4$ .则此问题中，扇形的面积是平方步.

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14. 计算： $\frac{1}{2} l g 4 - {(π + 1)}^{0} + 2 7^{\frac{1}{3}} + l g 50 =$ .

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15. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 6) + f (x) = 0$ ，且函数 $y = f (x - 1)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 对称，则 $f (2022) =$ .

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16. 设函数 $f (x) = | x - \frac{a}{x} | (a > 0$ ），若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq 4$ 成立，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | 2^{x - 1} > 2^{a}}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $A \subseteq ∁_{R} B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $t a n α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2}$ ）.

(1)、求 $\frac{s i n α + 3 c o s α}{2 c o s α - s i n α}$ 的值；

(2)、若 $c o s (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $c o s β$ 的值.

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19. 已知定义在R上的函数 $f (x) = a^{x} - (k - 1) a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是奇函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若函数f（x）满足 $f (1) < 0$ ，且对任意 $x > 1$ ，不等式 $f (l o g_{2} x + 2) + f (l o g_{x} 2 - t) < 0$ 恒成立，求实数t的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = c o s^{4} x - 2 \sqrt{3} s i n x c o s x - s i n^{4} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值及取得最值时 $x$ 的值.

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21. 我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x万度，今年的受损效益S(x)(万元)满足 $S (x) = {\begin{array}{l} 50 x^{2} ， 0 \leq x \leq 4 \\ 100 x - \frac{400}{x} + 500 ， 4 < x \leq 20 \end{array}$ .为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z(x)(万元)满足 $Z (x) = {\begin{array}{l} \frac{S (x)}{x} ， 0 \leq x \leq 4 \\ \frac{S (x) - 800}{x} + 520 ， 4 < x \leq 20 \end{array}$ ，政府为鼓励企业节能，补贴节能费 $n (x) = 100 x$ 万元.

(1)、减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？

(2)、减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R ， a \neq 0)$ .

(1)、若 $a + b + 2 c = 0$ ，且 $f (0) \cdot f (1) > 0$ ，求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有零点，求证：当 $a \geq - 1$ 时， $c \leq | b | + | a - 1 |$ .

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